Veta_o_urcenosti_afinity_v

Věta o určenosti afinity v rovině:
Nechť p=[p1,p2], q=[q1,q2], r=[r1,r2] a P=[P1,P2], Q={Q1,Q2], R={R1,R2]
jsou dvě skupiny nekolineárních bodů v rovině. Pak existuje jediná afinita
f této roviny, která body p, q, r zobrazuje v daném pořadí na body P, Q, R.

(%i1)

p:[p1,p2]$ q:[q1,q2]$ r:[r1,r2]$ P:[P1,P2]$ Q:[Q1,Q2]$ R:[R1,R2]$

(%i7)

A:matrix([a11,a12],[a21,a22]);
B:matrix([b1],[b2]);

(%i9)

E1:P-A.p+B;
E2:Q-A.q+B;
E3:R-A.r+B;

(%i12)

M1:augcoefmatrix([E1[1,1],E2[1,1],E3[1,1]],[a11,a12,b1]);
triangularize(M1);

(%i14)

M2:augcoefmatrix([E1[2,1],E2[2,1],E3[2,1]],[a21,a22,b2]);
triangularize(M2);

Aby měly příslušné soustavy rovnic jediné řešení, nesmí být členy m33 u obou výše uvedených matic
v Gaussově tvaru rovny nule. To je ekvivalentní s tím, že body p, q, r nesmí ležet v přímce (členy
m33 mají podoby obecných rovnic přímek určených body p, q!).

POZNÁMKA: Při "ručním" řešení bude místo eliminace rozšířené matice a aplikace Frobeniovy věty jednodušší
stanovit podmínku regulárnosti výše uvedených soustav výpočtem determinantů jejich matic. To se dá poměrně
sndno udělat úpravou třetího sloupce (eliminací jedniček na pozicích 23 a 33) a následným rozvojem podle něj.
Zde si determinanty spočítáme pomocí příkazu "determinant":

(%i22)

AM1:submatrix(M1,4);

(%i33)

AM12:addrow(row(AM1,1),row(AM1,2)-row(AM1,1),row(AM1,3)-row(AM1,1));
subAM12:submatrix(1,AM12,3);

(%i35)

determinant(subAM12);

Determinant matice soustavy je tedy různý od nuly právě tehdy, když jsou vektory p-q a p-r nezávislé,
tj. když body p, q, r neleží v přímce.

(%i36)

AM2:submatrix(M2,4);

(%i37)

AM22:addrow(row(AM2,1),row(AM2,2)-row(AM2,1),row(AM2,3)-row(AM2,1));
subAM22:submatrix(1,AM22,3);

(%i39)

determinant(subAM22);

I v tomto případě dostáváme stejný výsledek. Determinant matice soustavy je tedy různý od nuly právě tehdy, když jsou vektory p-q a p-r nezávislé,
tj. když body p, q, r neleží v přímce.

Zbývá ukázat, že ani body P, Q, R nemohou ležet v přímce.
Dokážeme to sporem. Předpokládáme, že p, q, r neleží v přímce a P, Q, R ano.

(%i16)

kill(A,B,p,q,r,P,Q,R);

(%i17)

P:A.p+B; Q:A.q+B; R:A.r+B;

(%i20)

P-R=k*(Q-R);

Po vynásobení inverzní maticí k A zleva dostaneme rovnost p-r=k*(q-r).
Jsou-li P, Q, R kolineární, jsou kolineární i p, q, r. To je spor
s předpokladem jejich nekolineárnosti.

(%i21)

p-r=k*(q-r);

Created with wxMaxima.