Lineární závislost vektorů

PŘÍKLAD 7:
Zjistěte, zda jsou dané vektory lineárně závislé nebo nezávislé.
Po zjištění lineární závislosti určete tu jejich lineární kombinaci, která je rovna nulovému vektoru.

a) a = (2, 5, 7), b = (6, 3, 4), c = (5,-2, 3),

Pokud nás zajímá pouze to, zda jsou vektory závislé, či nezávislé, stačí nám zjistit hodnost matice, kterou z nich sestavíme.
Je jedno, zda vyšetřované vektory uspořádáme do řádků nebo do sloupců této matice. Je-li hodnost matice menší, než počet
zkoumaných vektorů, vektory jsou ZÁVISLÉ, pokud je hodnost rovna počtu vektorů, ty jsou NEZÁVISLÉ.

Závěr: Vektory a, b, c jsou lineárně nezávislé.

Pokud nás ale zajímají kromě lineární závislosti také koeficienty příslušné lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru,
pracujeme s maticí, v níž jsou dané vektory uspořádány do sloupců. Ta totiž odpovídá matici homogenní soustavy, jejímž řešením
jsou hledané koeficienty.

Závěr: Příslušná homogenní soustava má pouze triviální řešení (samé nuly). Tento poznatek je v souladu s tím, že vektory jsou
lineárně nezávislé. Tj. existuje pouze jejich triviální lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru.

POZNÁMKA: Vzhledem k zadání příkladu budeme dále používat pouze matici, v níž jsou dané vektory uspořádány do sloupců.

b) a = (6, 4, 2), b = (-9, 6, 3), c = (-3, 6, 3).

Vektory jsou závislé (h(M)=2<3). Řešíme příslušnou soustavu:

Závěr:
Úloha najít koeficienty má nekonečně mnoho řešení.
Trojicí koeficientů [x,y,z] je každá taková uspořádaná trojice reálných čísel, která vyhovuje tomuto zápisu:
                                                      [x, y, z] = [-1/2k, -2/3k , k],
kde k je libovolné reálné číslo.
Řešení můžeme zapsat i bez zlomků, třeba takto:
                                                      [x, y, z] = [3k, 4k , -6k].

Konkrétními řešeními jsou třeba trojice [3,4,-6], [-15,-20,30] atd.

c) a = (-1, 0, 3), b = (4, 2, 0), c = (-5,-1, 9).

Vektory jsou závislé (h(M)=2<3). Řešíme příslušnou soustavu:

Závěr:
Úloha najít koeficienty má nekonečně mnoho řešení.
Trojicí koeficientů [x,y,z] je každá taková uspořádaná trojice reálných čísel, která vyhovuje tomuto zápisu:
                                                      [x, y, z] = [-3k, 1/2k , k],
kde k je libovolné reálné číslo.
Řešení můžeme zapsat i bez zlomků, třeba takto:
                                                      [x, y, z] = [-6k, k , 2k].

Konkrétními řešeními jsou třeba trojice [6,-1,-2], [-12, 2, 4] atd.

d) a = (1, 3, 5), b = (2, 4, 6),

V případě dvou vektorů je řešení zřejmé na první pohled. Pro ilustraci však i tento případ vyřešíme podrobně.

Vektory jsou nezávislé (h(M)=2=2). Pro ilustraci vyřešíme příslušnou soustavu:

e) a = (3,-8, 1), b = (-6, 16,-2),

Opět zřejmé na první pohled. Pro ilustraci však i tento případ vyřešíme podrobně.

Vektory jsou závislé (h(M)=1<2). Pro ilustraci vyřešíme příslušnou soustavu:

Závěr:
Úloha najít koeficienty má nekonečně mnoho řešení.
Dvojicí koeficientů [x,y] je každá taková uspořádaná dvojice reálných čísel, která vyhovuje tomuto zápisu:
                                                      [x, y] = [2k, k],
kde k je libovolné reálné číslo.

Konkrétním řešením je třeba dvojice [2,1], která je v souladu s tím, co je vidět na první pohled - druhý vektor
je mínus dvojnásobkem prvního.

f) a = (3, 2, 7), b = (1, 1, 1), c = (2, 0, 3),

Vektory jsou nezávislé (h(M)=3=3).

g) a = (3, 2, 0), b = (1, 1, 1), c = (5, 4, 2),

Vektory jsou závislé (h(M)=2<3). Řešíme příslušnou soustavu:

Závěr:
Úloha najít koeficienty má nekonečně mnoho řešení.
Trojicí koeficientů [x,y,z] je každá taková uspořádaná trojice reálných čísel, která vyhovuje tomuto zápisu:
                                                      [x, y, z] = [-k, -2k , k],
kde k je libovolné reálné číslo.

h) a = (1, 0, 0, 0), b = (2, 1, 0, 1), c = (3, 2, 1, 1),

Vektory jsou nezávislé (h(M)=3=3).

i) a = (3, 0, 1, 0), b = (0, 3, 0, 1), c = (0, 1, 0, 3), d = (1, 0, 3, 0).

Vektory jsou nezávislé (h(M)=4=4).