2. Úvod do matematického řešení regulačních obvodů

2.1. Význam použití Laplaceovy transformace

Častou úlohou v teorii lineárních, spojitě pracujících obvodů je řešení lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty při různých pravých stranách diferenciálních rovnic a různých počátečních podmínkách. Při klasickém řešení těchto diferenciálních rovnic vznikají při konkrétním výpočtu potíže. Tento problém řeší Laplaceova transformace diferenciálních rovnic.

Provede-li se transformace diferenciální rovnice, je výsledkem algebraická rovnice pro obraz hledané funkce. Po výpočtu tohoto obrazu je možné zpětnou Laplaceovou transformací ho převést na hledaný originál. Pro často se vyskytující funkce jsou sestaveny tabulky párů originál - obraz (tzv. operátorové slovníky), které umožňují vyhledávání obrazu k danému originálu a naopak.

Pomocí Laplaceovy transformace je možné jednoduše popsat reálné soustavy, obvody a jejich části místo diferenciálními rovnicemi tzv. přenosovými funkcemi (přenosy) a z přenosů jednotlivých částí celkem jednoduše vypočítat přenos celé soustavy nebo obvodu.

2.2. Definice poučky Laplaceovy transformace

Obrazem F (p) funkce času f (t), resp. Laplaceovou transformací funkce f (t), se nazývá integrál

Laplaceova transformace spočívá v tom, že nahrazuje neperiodickou funkci času součtem nekonečně mnoha tlumených (po příp. i exponenciálně vzrůstajících) funkcí.

Obraz F (p) funkce času f (t) je funkcí jen komplexní proměnné p = d + jw   a nezávisle proměnná t (čas) v něm nevystupuje. Komplexní proměnná p je tzv. Laplaceův operátor.

Laplaceova transformace je definována za předpokladu, že

a) transformovaná funkce f (t) je pro t < 0 identicky nulová,

b) v každém konečném intervalu proměnné t je funkce f (t) jednoznačná a po úsecích spojitá,

c) funkce f (t) je exponenciálního řádu, tj. existuje takové číslo c > 0, pro které platí

kde M je konečná kladná konstanta a integrál existuje pro všechna p, pro která platí Re p > c . Číslo c se nazývá hranicí konvergence.

2.3. Základní poučky Laplaceovy transformace

Linearita transformace (princip superpozice)

Je - li     f (t) = f₁ (t) + f₂ (t) + … + f_k (t)

dána součtem k funkcí s obrazy Fi (p), i = 1, … , k, pak obraz F (p) funkce f (t) je dán součtem obrazů jednotlivých funkcí