3. Vlastnosti členů regulačního obvodu

3.1. Statická charakteristika

vyjadřuje závislost mezi vstupní a výstupní veličinou v ustáleném stavu, tj. po doznění všech přechodových jevů. Má-li statická charakteristika přímkový průběh, je příslušné zařízení lineární, v opačném případě se jedná           o zařízení nelineární.

3.1.1. Některé typy pasivních nelinearit

                Nelinearita typu „nasycení“           

     x _výst.   

                                                                                                              Nelinearita je v oblasti, kde se výst. veličina se

                                                                                                              změnou vstup. veličiny přestává měnit.

                                               – x _vst. x _vst.                            (Tuto charakteristiku mají např. operační         

                                                                                                              zesilovače nebo elektrické servopohony,

                               u nichž od určité hodnoty napětí dochází k ome-

                                                                                                              zení růstu otáček.)

                Nelinearita typu „pásmo necitlivosti“

           x _výst.                                                 Při malých hodnotách vstupní veličiny se výstupní

                                                                                                              veličina nemění.

                                                                                                              (Např. vzniká nutným překrytím šoupátka přes

                                                                                                              kanálky z důvodu těsnosti)

          x _vst.                     

D

Nelinearita typu „hysterese“

x _výst.

                                                                                                            Tuto nelinearitu mají např. zesilovače používající

                                                                                                              obvodů se železem.

   x _vst.

D

3.1.2. Linearizace statických charakteristik

Linearizace statických charakteristik s pasivními nelinearitami lze dosáhnout vymezením pracovní oblasti a technologickými, resp. konstrukčními opatřeními (např. výběrem kvalitního magneticky měkkého materiálu pro zúžení hysterézní smyčky).

3.2. Dynamické vlastnosti regulačních obvodů

Úkolem regulace je udržovat veličiny v předepsaných podmínkách. Činnost regulace je dána neustálým působením jedné části regulačního obvodu (regulátoru) na jeho druhou část (regulovanou soustavu).

Toto působení se projevuje změnami jednotlivých veličin v regulačním obvodě. Tyto změny jsou změnami časovými. Jestliže se jednotlivé veličiny regulačního obvodu s časem nemění, je obvod v rovnovážném (klidovém) stavu.

Změna vnějších podmínek, v nichž se daný regulační obvod nachází, způsobuje přechod z jednoho rovnovážného stavu do druhého. Tyto změny jsou dány změnami poruchových a řídících veličin. Nastává přechodový jev, který se nazývá regulační pochod.

K vyšetřování vlastností regulačních obvodů je výhodné používat blokových schémat. V nich se znázorňuje určitý prvek nebo souhrn prvků nebo i celé zařízení jediným obdélníkem.

Důležitou vlastností blokových schémat je, že se předpokládá, že signály se jednotlivými prvky šíří pouze v jednom směru a že přenosy jednotlivých členů se nezmění, připojí-li se na výstupu další členy.

Vzájemné působení jednotlivých členů je uskutečňováno signály, které se v průběhu regulačních pochodů mění  a to buď spojitě (spojitá regulace) nebo nespojitě (nespojitá regulace). Zvláštním druhem nespojité regulace jsou regulace impulsové.

Např. je dán nějaký prvek znázorněný blokovým schématem:

u (t)                                       y (t)

S

Matematicky je možné dynamické vlastnosti vyjádřit vztahem mezi výstupním a vstupním signálem daného členu

                                                                D₂  y (t)    = D₁ u (t)

D₁  a  D₂  jsou operátory použité na funkce  u (t)  a  y (t).

Operátorem se nazývá v matematice zákon, kterým se k dané funkci určuje jiná funkce.

Operátor D se nazývá lineárním, jestliže má tyto vlastnosti:

D     S x_i (t)     =  S  D     x_i (t)                             - princip superpozice  

^{i                       i}

                D    k · x (t)      =   k · D    x (t)

Tento princip umožňuje určit například průběh výstupního signálu jako součet průběhů, které jsou dílčími řešeními vztahu  

D₂ y (t)      =   D₁ u (t)

Dynamické vlastnosti jednotlivých členů i celých regulačních obvodů jsou dány jejich diferenciálními rovnicemi.

Prvek lze obecně popsat diferenciální rovnicí:

                        d ⁿ                              d ^n–1                                                   d

a_n  ——  y (t)  +  a_n–1  ———  y (t)  +  … +  a₁  ——  y (t)  +  a₀  y (t)  = 

                       dt ⁿ                             dt ^n–1                                                 dt

           d ^m                              d ^m–1                                                    d

= b_m  ——  u (t)  +  b_m–1  ———  u (t)  +  … +  b₁  ——  u (t)  +  b₀  u(t)

          dt ^m                              dt ^m–1                                                  dt

Některé členy mohou být rovny 0 (mohou chybět), jestliže se příslušný koeficient rovná 0.

Např. operátor  D₂  má pro lineární systémy s konstantními parametry obecný tvar:

                  d ⁿ                              d ^n–1                                            d                     _n               d ⁱ

D₂  =  a_n  ——   +   a_n–1  ———   +   … +  a₁  —— +  a₀    =   S    a_i   ——

                                                            dt ⁿ                             dt ^n–1                                         dt                   ^{i = 0} dt ⁱ

Řešení diferenciálních rovnic, zvláště vyšších řádů, je obtížné a proto se používá ke stanovení dynamických vlastností i jiných způsobů, které jsou z příslušných diferenciálních rovnic odvozené.

3.2.1. Způsoby vyjádření dynamických vlastností:

a) diferenciální rovnice

b) operátorový přenos

- odvodí se transformací diferenciální rovnice a vytvořením poměru obrazu výstupní       

        veličiny k obrazu veličiny vstupní.

c) přechodová charakteristika

- je grafickým znázorněním integrálu diferenciální rovnice při skokové vstupní funkci.

Za skokovou vstupní funkci slouží ve většině případů jednotkový skok, definovaný takto:

u (t)  = 0    pro   t < 0 ;                u (t) = 1   pro   t ³ 0 .

      1

u (t)

      0                                                                  t

d) impulsní charakteristika

- je grafickým znázorněním integrálu diferenciální rovnice při vstupní funkci tvaru jednotkového (Diracova) impulsu. Je derivací přechodové charakteristiky.

e) frekvenční přenos

- vznikne tak, že na vstup členu je zaváděna sinusová funkce o konstantní jednotkové amplitudě a proměnné frekvenci. Na výstup lineárního členu je přenesena sinusová funkce, ale obecně s jinou amplitudou a fázově posunutou proti funkci vstupní. Frekvenční přenos je pak poměr výstupního harmonického signálu ku vstupnímu harmonickému signálu.

Frekvenční přenos je operátorový přenos, v kterém p bylo nahrazeno jw.

f) frekvenční charakteristika

- je grafickým znázorněním frekvenčního přenosu při proměnné frekvenci.

Existují tyto frekvenční charakteristiky:

- amplitudo- fázová v komplexní rovině

- amplitudová v logaritmických souřadnicích

- fázová v logaritmických souřadnicích

- amplitudo- fázová v logaritmických souřadnicích

- rozložení pólů a nul v komplexní rovině

- pólem se rozumí taková hodnota operátoru p, při níž přenosová funkce nabývá nekonečné hodnoty. Póly jsou tedy kořeny jmenovatele operátorového přenosu. Nulovým bodem je taková hodnota operátoru, při níž přenosová funkce nabývá nulové hodnoty. Nulové body jsou tedy kořeny čitatele operátorového přenosu.

3.2.2. Operátorový přenos

Transformací obecné diferenciální rovnice pro přenos členu za předpokladu, že uvažovaný člen je v čase t = 0 v klidovém stavu, se obdrží rovnice:

a_n p ⁿ Y (p)  +  a_n–1 p ^n–1 Y (p)  +  … +  a₁ p Y (p)  +  a₀  Y (p)    = 

= b_m p ^m U (p)  +  b_m–1  p ^m–1 U(p)    +  … +  b₁ p U (p)  +  b₀  U (p) ,

kde  U (p)  je Laplaceův obraz veličiny vstupní a  Y(p)  je Laplaceův obraz veličiny výstupní.

Vytknutím obrazů na obou stranách rovnice a jejich uvedením do poměru se obdrží operátorový přenos, což je obecně racionální lomená funkce:

Y (p)             b_m p ^m  +   b_m–1  p ^m–1  +  … +  b₁ p  +  b₀ 

F (p)  =  ———   =    —————————————————

U(p)              a_n p ⁿ +   a_n–1 p ^n–1  +  … +  a₁ p   +  a₀

U technicky realizovaných zařízení je vždy stupeň polynomu ve jmenovateli vyšší než stupeň polynomu v čitateli nebo jsou si rovny, tedy  n ³ m .

                Koeficienty  a_i   i  b_i  jsou vždy reálné.

3.2.3. Frekvenční přenos

Pro řešení ustálených stavů se používá tzv. symbolicko-komplexní metody početní.

Při ní každému sinusovému vstupnímu signálu s amplitudou A_u

u = A_u sin w t

je přiřazen vektor                               U (jw)  = A_u e ^{jw t}

Výstupnímu signálu s obecně jinou amplitudou  A_y a fázovým posunem  j

y = A_y sin (w t + j)

odpovídá vektor                                                                Y (jw)  = A_y e ^{j (w t + j)}

Poměr těchto vektorů je pak frekvenčním přenosem:

                  Y (jw)

F (jw)  =  ———

                  U (jw)

3.2.4. Přechodová charakteristika

Při známém vstupním signálu pomocí operátorového přenosu je možno snadno získat obraz výstupního signálu:

Y (p)  =  F (p) ·  U (p)

 1

Bude-li signálem jednotkový skok, je jeho Laplaceův obraz:                                U (p)  =  —

 p

 1

a obraz výstupního signálu, tj. obraz přechodové charakteristiky:        Y (p)  =  — · F (p)

 p

Rovnice přechodové charakteristiky se pak získá zpětnou  Ļ transformací:     

                                                                                           1

            y (t)  = Ļ^–1        — · F (p)

      p

                Přechodová charakteristika nějakého prvku nebo zařízení se dá tedy vypočítat zpětnou Laplaceovou

          1

transformaci   —    - násobku jeho operátorového přenosu.

          p

3.2.5. Rozložení nul a pólů přenosové funkce v komplexní rovině

Je-li dán přenos   F (p)  ve tvaru

Y (p)             b_m p ^m  +   b_m–1  p ^m–1  +  … +  b₁ p  +  b₀ 

F (p)  =  ———   =    —————————————————

U (p)             a_n p ⁿ +   a_n–1 p ^n–1  +  … +  a₁ p   +  a₀

Může se též napsat ve tvaru

         (p – z₁)  (p – z₂)  .  .  .   (p – z_m)                           b_m

F (p)  =  K   ——————————————  ,    kde  K = ——

        (p – q₁)  (p – q₂)  .  .  .   (p – q_n)                           a_n

                Jakmile proměnná  p  dosáhne hodnoty některé hodnoty  z_i , nabude přenos F (p)  nulové hodnoty.

                V těchto místech leží v komplexní rovině  p = c + jw  nuly přenosu.

Dosáhne-li proměnná  p  hodnoty  q_i , bude mít přenos F (p)  nekonečnou hodnotu a v místech  q_i  leží póly funkce.

                Nuly se označují v komplexní rovině  p = c + jw  kroužkem a póly křížkem.

Nuly i póly mohou být reálné, komplexní nebo i čistě imaginární. Komplexní póly a nuly musí být jen komplexně sdružené.

                Rozložení nul a pólů zcela charakterizuje dynamické vlastnosti:

- čím jsou póly dále od imaginární osy, tím je přechodový jev více tlumen a kratší.

- jsou-li póly komplexní, znamená to, že přechodový jev bude mít kmitavou složku

- póly v pravé polovině roviny p = c + jw  znamenají nestabilní přechod

- póly v nule vyjadřují integrační charakter systému

- jsou-li nuly blíže imaginární osy než póly, bude převládat derivační složka

- nuly v nule vyjadřují derivační charakter systému

Geometrické místo kořenů slouží k navrhování regulátorů pro dané dynamické vlastnosti regulačního obvodu.