Základní typové dynamické články

4. Základní typové dynamické články

Některé typické dynamické vlastnosti regulačních obvodů se nechají demonstrovat na zařízeních, jejichž diferenciální rovnice jsou maximálně druhého řádu, takže jsou snadno řešitelné. Takovéto zařízení se pak nazývají typové dynamické články. Jsou jakýmsi normálem základních druhů dynamických vlastností. Pro základní druhy dynamických vlastností nabývá diferenciální rovnice

specifických tvarů a podle toho se rozeznávají tři základní druhy dynamických vlastností systémů:

a) statické systémy

b) astatické (integrační) systémy

c) derivační systémy

4.1. Statické systémy

Statické systémy mají tvar diferenciální rovnice

Jsou charakterizovány tím, že diferenciální rovnice má na levé straně (n + 1) členů. Při přivedení vstupní veličiny jednotkového skoku ustálí se výstupní veličina na konstantní hodnotě:

4.1.1. Statický člen nultého řádu (člen proporcionální -P)

Příklady provedení:

Diferenciální rovnice:

- zesilovací konstanta

Operátorový přenos:

a₀ y = b₀ u po transformaci ® a₀ Y (p) = b₀U(p)

Přechodová charakteristika (odezva na jednotkový vstupní skok):

Frekvenční charakteristika:

a) v komplexní rovině: F (jw) = K₀ frekvenční přenos je nezávislý na frekvenci, jeho modul je konstantní, argument rovný nule.

b) v logaritmických souřadnicích: ô F (jw) ôdB = 20 log K₀ , j (w) = 0

4.1.2. Statický člen prvního řádu (setrvačný člen), (proporcionální člen se zpožděním prvního řádu)

Příklady provedení:

Diferenciální rovnice:

- setrvačná časová konstanta [ s ]

Operátorový přenos:

Za předpokladu nulových počátečních podmínek po Laplaceově transformaci:

a₁ p Y (p) + a₀ Y (p) = b₀ U (p)

p = c + jw - komplexní proměnná, má rozměr frekvence [s^-1]

Typový tvar přenosové funkce:

Přechodová charakteristika:

- jednotkový skok

Po zpětné transformaci:

K₀ = y (Ą )

Frekvenční charakteristika:

a) v komplexní rovině:

b) v logaritmických souřadnicích:

Pro amplitudovou frekvenční charakteristiku platí:

Protože výraz nelze obecně logaritmovat,

Pro je zjednodušuje se zanedbáním:

a ôF (jw)ô_dB = 20 log K₀

Pro je

a ôF (jw)ô_dB = 20 log K₀ - 20 log w T₁

Mezní případ mezi je

Od w = 0 do je amplitudová frekvenční charakteristika přibližně dána polopřímkou (asymptotou) vodorovnou s osou 0 dB a vzdálenou od ní 20 log K₀.

Od do w = Ą je amplitudová frekvenční charakteristika přibližně dána polopřímkou (asymptotou) klesající o 20 dB na dekádu (desetinásobek) frekvence. Průběh fáze je dán vztahem j = - arctg wT₁ Pro w ® 0 je j ® 0 , pro w ® Ą je j ® - 90°, pro je j = - 45°

Nahrazení amplitudové frekvenční charakteristiky asymptotami je tím přesnější, čím jsou hodnoty w více vzdáleny od hodnoty . Největší chyba vzniká pro . Její velikost se zjistí dosazením do vztahu:

Ţ Skutečný průběh amplitudové charakteristiky leží tedy ve zlomu asymptot o 3 dB níže než udávají asymptoty.

Dynamické vlastnosti respektované statickým členem 1. řádu mají zařízení, která obsahují jednu energetickou kapacitu (tj. prvek schopný akumulovat v sobě energii).

4.1.3. Statický člen druhého řádu

Příklady provedení:

Diferenciální rovnice:

Pokud se položí: T₂ = T , T₁ = 2 x T , pak diferenciální rovnice přejde ve tvar:

, kde T je časová konstanta a je poměr tlumení.

Operátorový přenos:

Po Laplaceově transformaci:

Y (p) · (a₂ p² + a₁ p + a₀ ) = b₀ U(p)

Typový tvar přenosové funkce:

Pokud položíme , pak

Přechodová charakteristika:

Pro jednotkový skok platí:

Pro průběh přechodové charakteristiky jsou rozhodující kořeny jmenovatele přenosu F (p).

Vzhledem k velikosti x mohou nastat tyto případy:

a) x > 1

p₁ = , p₂ = 2 reálné, různé, záporné kořeny

přičemž

Přechodová charakteristika je aperiodická přetlumená:

b) x = 1

2 reálné, stejné, záporné kořeny

Přechodová charakteristika je na mezi aperiodicity:

c) 0 < x < 1

Ţ 2 komplexně sdružené kořeny se zápornou reálnou částí. Výraz je reálné číslo

Přechodová charakteristika je kmitavá tlumená (tlumené harmonické kmity):

Kmity probíhají s frekvencí w_v , která se nazývá vlastní frekvencí kmitavého článku.

w₀ = přirozená frekvence článku (frekvence vlastních kmitů bez tlumení).

Činitel tlumení:

Frekvenční charakteristika:

a) v komplexní rovině:

b) v logaritmických souřadnicích:

4.1.4. Zpožďující členy vyšších řádů

Diferenciální rovnice má tvar:

Operátorový přenos:

Pokud mnohočlenu ve jmenovateli odpovídají reálné kořeny je možné napsat přenos ve tvaru:

kde T₁ = T_a+ T_b + T_c ; T₂² = T_a T_b + T_b T_c + T_c T_a ; T₃³ = T_a · T_b · T_c

Z tohoto vyjádření je patrno, že výsledný přenos je dán součinem dílčích přenosů typu

, násobený K₀

Výsledná frekvenční charakteristika je tedy dána součinem frekvenčních charakteristik zpožďujících členů prvého řádu, která každá leží celá v jednom kvadrantu. Frekvenční charakteristika dvou v sérii zapojených zpožďujících členů prvého řádu musí potom procházet dvěma kvadranty.

Výslednou logaritmickou frekvenční charakteristiku je možno sestrojit sečtením frekvenčních charakteristik jednotlivých dílčích přenosů.

4.2. Astatické (integrační) systémy

Astatické systémy mají tvar diferenciální rovnice

Jsou charakterizovány tím, že diferenciální rovnici na levé straně chybí prostý člen a na pravé straně je pouze prostý člen.

Při přivedení vstupní veličiny jednotkového skoku, mění se výstupní veličina po skončení přechodového děje rovnoměrným pohybem rychlostí , tedy vstupní veličinu integruje.

4.2.1. Ideální integrační člen

Diferenciální rovnice:

Operátorový přenos:

Přechodová charakteristika:

Frekvenční charakteristika: Frekvenční charakteristika v log. souř.:

4.2.2. Integrační člen se zpožděním 1.řádu

Příklad provedení:

Vstupem je napájecí signál a výstupem dráha (úhel natočení).

Časová konstanta

J = moment setrvačnosti

B = konstanta tlumení motoru

Diferenciální rovnice:

Operátorový přenos:

Přechodová charakteristika:

Frekvenční charakteristika: Frekvenční charakteristika v log. souř.:

4.3. Derivační systémy

Derivační systémy mají tvar diferenciální rovnice

Jsou charakterizovány tím, že diferenciální rovnici na pravé straně chybí prostý člen. Při přivedení vstupní veličiny jednotkového skoku, ustálí se výstupní veličina po skončení přechodového děje na nule.

Derivace daného signálu v nějakém okamžiku nám dává informaci o tom, jak bude tento signál přibližně pokračovat v nejbližším následujícím okamžiku.

4.3.1. Ideální derivační člen

Příklad provedení:

Tachodynamo