9. Aproximace přenosových funkcí pomocí přechodové charakteristiky

Pro návrh regulačního obvodu je potřeba znát přenosovou funkci regulované systému. K přesnému výpočtu je nutné znát diferenciální rovnici popisující příslušné děje v systému. Pak pomocí fyzikálně matematické analýzy, která se opírá o konstrukční a fyzikální data soustavy, se dospěje ke skutečnému matematickému modelu systému.

Proces nalezení takového modelu se nazývá identifikací systému.

Stanovená přenosová funkce je obvykle vysokého řádu a proto se často nahrazuje funkcemi jednoduššími - provádí se aproximace přenosu.

Ve většině případů, kdy identifikaci provádíme měřením (vyhodnocení přechodových a frekvenčních charakteristik, vyhodnocení odezev na signály obecného tvaru) přesný matematický model stanovit nelze. Pak není možné identifikaci systému a aproximaci přenosu od sebe oddělit. Skutečná přenosová funkce se pak nahrazuje přenosem obvykle nejvýše druhého řádu s dopravním zpožděním. Vhodnost zvolené aproximace se posuzuje buď porovnáním frekvenčních charakteristik, nebo srovnáním přechodových charakteristik. Konečné posouzení výsledků je většinou proveditelné až na základě regulačního děje (po realizaci uzavřeného obvodu).

9.1. Aproximace soustavou prvního řádu

Podobnost skutečné funkce a aproximace lze zajistit pouze pro velmi malé pásmo nízkých frekvencí. Aproximační přenosová funkce má tvar:

Pro zesilovací konstantu K₀ platí:

kde symboly u₍₀₊₎ a u_(0-) značí hodnoty vstupu před a po provedené změně.

Naměřené přechodové charakteristiky se obvykle normují, tj. změní se měřítko osy y(t) tak, aby nakreslená charakteristika odpovídala jednotkové změně vstupní veličiny.

Přechodová charakteristika:

Časová konstanta T vyjadřuje dynamické vlastnosti soustavy. Aproximační přechodová charakteristika y_A a přechodová charakteristika skutečná y_S se (kromě počátku a ustáleného stavu) shodují pouze v jednom bodě (bod A), kde dochází k inflexi skutečné přechodové charakteristiky. V tomto bodě lze neznámou T stanovit.

Doba T vyjadřuje dobu, za kterou by odezva dosáhla ustálené hodnoty při zachování počáteční rychlosti změny. Tuto hodnotu by dosáhla v bodě B, který leží na tečně y_t k aproximační přechodové charakteristice pro t = 0.

Aproximační přechodovou charakteristiku možno vyjádřit diferenciální rovnicí

               a   = konstanta

Pokud se jedná o jednotkový skok, pak     

Směrnicí tečny y_t je       

Pokud se uvažuje, že přechodová charakteristika je normovaná, pak rovnice tečny y_t pro bod t = T je:

Hodnota aproximační přechodové charakteristiky v bodě t = T je pak:

Frekvenční charakteristika:

Při aproximaci skutečné přenosové funkce vyššího řádu soustavou prvního řádu dochází k nesouhlasu, který je patrný srovnáním frekvenčních charakteristik:

U skutečné soustavy F₄ (jw) je fázové posunutí v pásmu 0 až - 2p, u aproximační soustavy F₁ (jw) je 0 až - p/2 .

9.2. Aproximace soustavou prvního řádu s dopravním zpožděním

Použitím článku s dopravním zpožděním se podstatně zlepší shoda mezi aproximační a skutečnou soustavou hlavně v průběhu frekvenční charakteristiky.

Aproximační přenosová funkce má tvar:   

Pro zesilovací konstantu K0 platí:    

kde symboly u₍₀₊₎ a u_(0-) značí hodnoty vstupu před a po provedené změně.

Přechodová charakteristika:

Tečna přechodové charakteristiky v inflexním bodě A vytíná na nulové úrovni úsek T_u a na úrovni ustálené hodnoty úsek T_n .

T_u = doba průtahu (určuje velikost dopravního zpoždění t = T_u )

T_n = doba náběhu

Styčným bodem obou charakteristik je bod B.

Frekvenční charakteristika:

aproximační soustavy F₂ (jw) a skutečné soustavy F (jw):

9.3. Aproximace soustavou druhého řádu

Náhradní přenosy mají tvar:

     nebo     

Platí-li pro poměr doby průtahu T_u a doby náběhu T_n:

je vhodné použít aproximaci s různými časovými konstantami, v opačném případě se stejnými časovými konstantami.

Přechodová charakteristika přenosu s různými časovými konstantami je dána rovnicí:

Pro zesilovací konstantu K₀ platí:

kde symboly u₍₀₊₎ a u_(0-) značí hodnoty vstupu před a po provedené změně.

V rovnici přechodové charakteristiky přenosu se vyskytují další neznámé T₁ a T₂.

Tvar přechodové charakteristiky je závislý jednak na poměru obou konstant      jednak na velikosti jejich součtu    .

Bylo zjištěno, že čas t₁, pro který platí   je nezávislý na poměru a, ale jen na součtu   T₁+ T₂  a platí pro něj:

Čas t₂, pro který platí:

je nejvíce závislý na poměru a  .

Vztah mezi pořadnicí y(t₂) a poměrem a je dán následujícím grafem:

Při aproximaci přenosem druhého řádu se stejnými časovými konstantami se vychází z polohy inflexního bodu přechodové charakteristiky, který má souřadnice t_i a y(t_i ) = y_i.

Pro aproximaci soustavou n-tého řádu se stejnými časovými konstantami platí:

Pak pro časové konstanty druhého řádu (pokud T₁ = T₂ = T) platí: T = t_i.

9.4. Aproximace soustavou vyššího řádu se stejnými časovými konstantami

Řád se stanoví na základě souřadnice inflexního bodu:

Velikost časové konstanty se stanoví z rovnice:

Pro normovanou přechodovou charakteristiku, tj. K₀ = 1 jsou uvedeny v následující tabulce velikosti poměrů .

9.5. Aproximace soustavou druhého řádu s dopravním zpožděním

Přechodová charakteristika:

Pomocí tečny v inflexním bodě se určí parametry T_u a T_n .

Velikost dopravního zpoždění t se určí tak, aby zbývající doba průtahu , pro kterou platí  , splňovala rovnici  (pak se může použít aproximace s různými časovými konstantami). Výpočet konstant T₁ a T₂ se provede stejným způsobem jako při návrhu přenosu F₃ (p), všechny časové úseky se však odečítají tak, jako kdyby počátek byl posunut o velikost t (náhradní počáteční bod 0').

9.6. Příklady výpočtů některých typů náhradních přenosů

Je dána změřená přechodová charakteristika:

a)      Při náhradě soustavou prvého řádu se odečte hodnota času pro pořadnici . Z grafu vyplývá T = 4,3 s. Rozdíl y_(Ą) - y₍₀₎ = 1 a protože se jedná o jednotkový skok, tak i ₍₀₊₎ - u_(0-) = 1 Ţ K = 1.

Aproximační přenos má tvar:   

b)     Při náhradě soustavou prvého řádu s dopravním zpožděním platí t = T_u , T = T₁ - T_u , kde T₁ je hodnota časové konstanty s přenosu F₁ (p) .

Z grafu vyplývá T_u = 0,8 s Ţ T = 4,3 s - 0,8 s = 3,5 s.

Aproximační přenos má tvar:

c)      Při náhradě soustavou druhého řádu je třeba nejprve rozhodnout, zda se použije soustava se stejnými nebo různými časovými konstantami: T_u = 0,8, T_a = 5     Ţ soustava se stejnými časovými konstantami.

Inflexní bod má souřadnice x_i = 0,264 (dle výše uvedené tabulky) a t_i = 2,1 s.

Aproximační přenos má tvar:    

d) Při náhradě soustavou druhého řádu s dopravním zpožděním se zvolí velikost dopravního zpoždění t tak, aby zbývající doba průtahu , pro kterou platí , splňovala rovnici  (pak se může použít aproximace s různými časovými konstantami).

Např. t = 0,3 s.

Platí y(t₁) = 0,720 Ţ (dle frekvenční charakteristiky) t₁ = 5,2 - 0,3 = 4,9 s, pro t₂ platí t₂ = 0,284 t₁ + 0,3 = 1,69 s Ţ (dle frekvenční charakteristiky) y(t₂) = 0,18. Z grafu pro vztah mezi pořadnicí y(t₂) a poměrem a se odečte a = 0,45, tím se obdrží dvě rovnice: ; . Pak aproximační přenos má tvar