Konstrukce

10. Konstrukce frekvenční charakteristiky z přechodové charakteristiky

Jak frekvenční, tak i přechodové charakteristiky jsou dány řešením téže rovnice. Při tom má v prvém případě vstupní veličina průběh sinusový a v druhém případě skokový.

Obraz přechodové charakteristiky je

Pokud se předpokládají nulové počáteční podmínky (uvažovaný člen byl v počátečním okamžiku v klidovém stavu), potom platí (s použitím Laplaceovy transformace):

Pokud se jedná o soustavu statickou, pak platí a integrál vyjadřující F(p) má konečnou hodnotu.

Dosazením p = j w do předchozí rovnice

Po nahrazení diferenciálu konečnou diferencí:

Dy (t_n) je diference přechodové charakteristiky v n-tém intervalu. Pokud se celý časový průběh rozdělí na úseky po krocích o velikosti h, pak hodnota diference v n-tém intervalu je dána rozdílem funkčních hodnot uprostřed intervalů h , t.j.:

...atd.

Konstrukce přenosu pro určitou frekvenci w₁ se nejlépe provede v polárních souřadnicích tak, že se sečítají jednotlivé diference, které jsou navzájem natočeny o úhel

j_n=-w₁.h.n

Ke stejným výsledkům možno dojít na základě úvahy, že jednotlivé takto vzniklé skokové průběhy jsou výstupní veličiny členů, které obsahují pouze dopravní zpoždění. Daná přechodová charakteristika a daná soustava vůbec se pak může nahradit paralelním zapojením těchto jednotlivých členů s dopravním zpožděním.

Jestliže budou vstupní veličiny této soustavy buzeny sinusově, bude výstup každého z těchto členů kmitat s fázovým posunem

j=w.T_d

a amplitudou, která je dána výškou příslušného stupně.

Po sečtení vektorů bude koncový bod takto vzniklého mnohoúhelníka jedním bodem hledané frekvenční charakteristiky. Další body frekvenční charakteristiky se získají opakováním tohoto postupu pro jiné kmitočty.

Stupně mají výšku h₁ až h_n a jsou od počátku posunuty (zpožděny) o T_d až n·T_d.

Vyšetřovaný člen se známou přechodovou charakteristikou byl tak nahrazen n paralelně zapojenými členy s dopravním zpožděním, jejichž přenosy je možné určit dle známého vztahu pro přenos s dopravním zpožděním

Pro jednotlivé přenosy pak platí:

Protože členy jsou zapojeny paralelně, je výsledný přenos dán součtem dílčích přenosů:

Příklad sestrojení frekvenční charakteristiky z dané přechodové charakteristiky:

Hodnoty odečtených diferencí při zvoleném kroku h = 0,2 s :

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
t_n	0,1	0,3	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3	1,5	1,7	1,9	2,1	2,3	2,5	2,7	2,9	3,1
Dx (t_n)	0,2	0,11	0,13	0,12	0,11	0,095	0,075	0,06	0,05	0,045	0,035	0,025	0,02	0,015	0,012	0,01

Další diference (pro n > 16) se mohou zanedbat, neboť jejich hodnoty jsou již příliš malé a v grafické konstrukci se podstatně neuplatní.

Ve vztahu lze sečíst reálné a imaginární složky fázorů a do grafu vynést přímo výsledný fázor F (jw):

Platí:

Pak zápis je možné vyjádřit ve tvaru:

nebo vzhledem k uvedenému příkladu:

Pokud položíme

pak

Pro amplitudu přenosu F (jw) bude platit: