Věta o určenosti afinity v rovině:
Nechť p=[p1,p2], q=[q1,q2], r=[r1,r2] a P=[P1,P2], Q={Q1,Q2], R={R1,R2]
jsou dvě skupiny nekolineárních bodů v rovině. Pak existuje jediná afinita
f této roviny, která body p, q, r zobrazuje v daném pořadí na body P, Q, R.
(%i1) | p:[p1,p2]$ q:[q1,q2]$ r:[r1,r2]$ P:[P1,P2]$ Q:[Q1,Q2]$ R:[R1,R2]$ |
(%i7) |
A:matrix([a11,a12],[a21,a22]); B:matrix([b1],[b2]); |
(%i9) |
E1:P-A.p+B; E2:Q-A.q+B; E3:R-A.r+B; |
(%i12) |
M1:augcoefmatrix([E1[1,1],E2[1,1],E3[1,1]],[a11,a12,b1]); triangularize(M1); |
(%i14) |
M2:augcoefmatrix([E1[2,1],E2[2,1],E3[2,1]],[a21,a22,b2]); triangularize(M2); |
Aby měly příslušné soustavy rovnic jediné řešení, nesmí být členy m33 u obou výše uvedených matic
v Gaussově tvaru rovny nule. To je ekvivalentní s tím, že body p, q, r nesmí ležet v přímce (členy
m33 mají podoby obecných rovnic přímek určených body p, q!).
POZNÁMKA: Při "ručním" řešení bude místo eliminace rozšířené matice a aplikace Frobeniovy věty jednodušší
stanovit podmínku regulárnosti výše uvedených soustav výpočtem determinantů jejich matic. To se dá poměrně
sndno udělat úpravou třetího sloupce (eliminací jedniček na pozicích 23 a 33) a následným rozvojem podle něj.
Zde si determinanty spočítáme pomocí příkazu "determinant":
(%i22) | AM1:submatrix(M1,4); |
(%i33) |
AM12:addrow(row(AM1,1),row(AM1,2)-row(AM1,1),row(AM1,3)-row(AM1,1)); subAM12:submatrix(1,AM12,3); |
(%i35) | determinant(subAM12); |
Determinant matice soustavy je tedy různý od nuly právě tehdy, když jsou vektory p-q a p-r nezávislé,
tj. když body p, q, r neleží v přímce.
(%i36) | AM2:submatrix(M2,4); |
(%i37) |
AM22:addrow(row(AM2,1),row(AM2,2)-row(AM2,1),row(AM2,3)-row(AM2,1)); subAM22:submatrix(1,AM22,3); |
(%i39) | determinant(subAM22); |
I v tomto případě dostáváme stejný výsledek. Determinant matice soustavy je tedy různý od nuly právě tehdy, když jsou vektory p-q a p-r nezávislé,
tj. když body p, q, r neleží v přímce.
Zbývá ukázat, že ani body P, Q, R nemohou ležet v přímce.
Dokážeme to sporem. Předpokládáme, že p, q, r neleží v přímce a P, Q, R ano.
(%i16) | kill(A,B,p,q,r,P,Q,R); |
(%i17) | P:A.p+B; Q:A.q+B; R:A.r+B; |
(%i20) | P-R=k*(Q-R); |
Po vynásobení inverzní maticí k A zleva dostaneme rovnost p-r=k*(q-r).
Jsou-li P, Q, R kolineární, jsou kolineární i p, q, r. To je spor
s předpokladem jejich nekolineárnosti.
(%i21) | p-r=k*(q-r); |