GEOMETRIE I (KMA/7G1)

Předmět je zaměřen na afinní geometrii v prostorech dimenze 2 a 3 a na základní metody popisu těchto prostorů, vše v souvislostech s výukou matematiky.

Literatura ke studiu:

[1]  Hašek, R. Lineární algebra a geometrie, 21. 6. 2020.

[2]  Pech, P., Analytická geometrie lineárních útvarů, České Budějovice, PF JU, 2004.

[3]  Hašek, R. Lineární algebra, 29. 4. 2020. / Geometrický význam determinantu. [Obsah rovnoběžníku] [Objem rovnoběžnostěnu]

[4]  Hašek, R. PLANIMETRIE (19. 5. 2020).

[5]  Hašek, R. Geometrie 3 (27. 11. 2020).

[6]  Hašek, R. Geometrie 2 (1. díl) (2020)

Osnova

• Afinní bodový prostor. Parametrické vyjádření afinního bodového podprostoru; přímky, roviny.

  PŘEDNÁŠKA Vektorový prostor, lineární kombinace vektorů, lienární závislost a nezávislost; [1]: str. 22–37. Afinní bodový prostor, parametrické vyjádření přímky a roviny; [1]: str. 126–140. CVIČENÍ Afinní bodový prostor, parametrické vyjádření přímky a roviny; [1]: str. 130, 141. Prémiový úkol č. 1: V rovině je dán trojúhelník ΔABC. Určete všechny body X takové, že úsečky XA, XB a XC mohou být v rovině posunuty, bez otočení či změny délky, tak, že vytvoří trojúhelník.

• Obecná rovnice nadroviny. Rovnice přímky v rovině a roviny v prostoru.

  PŘEDNÁŠKA PŘÍKLAD 1: Přímka p prochází body A[-2; 3], B[1; 2]. Napište její parametrické rovnice, kanonickou rovnici a obecnou rovnici. PŘÍKLAD 2: Rovina ρ prochází body K[-2; 1; 3], L[2; 3; 1] a M[0; -5; -2]. Napište její parametrické rovnice, a obecnou rovnici. Parametrické rovnice přímky a roviny, kanonický tvar rovnice přímky; [1]: str. 133–141. Obecná rovnice přímky a roviny; [1]: str. 142–152. Vektorový součin; [1]: str. 104–111. CVIČENÍ PŘÍKLAD 3: Jsou dány body A[1; -1; 3], B[1; 2; -3], C[2; -3; 4]. Napište rovnici roviny ABC. Zjistěte, zda bod B[3; -4; 3] leží v této rovině. Najděte průsečíky roviny ABC se seouřadnicovými osami. Obecná rovnice přímky a roviny; [1]: str. 142–152.

• Vzájemné polohy afinních bodových podprostorů; bodů, přímek a rovin.

  PŘEDNÁŠKA Vzájemná poloha afinních bodových podprostorů; [1]: str. 160–163. CVIČENÍ Vzájemná poloha afinních bodových podprostorů; [1]: str. 167/Př. 14–16. Příčky mimoběžných útvarů; [1]: str. 168/Př. 1, 2.

• Skalární součin. Odchylka vektorů. Eukleidovský bodový prostor.

PŘEDNÁŠKA Skalární součin; [1]: str. 58–77 (skalární součin). CVIČENÍ Skalární součin; [1]: str. 58–77 (skalární součin).

• Vektorový a smíšený součin.
• Objem simplexu. Obsah trojúhelníku, objem čtyřstěnu.

PŘEDNÁŠKA Vektorový součin; [1]: str. 104–111 (vektorový součin). Vnější součin; [1]: str. 113–124 (vnější součin). CVIČENÍ Vektorový součin; [1]: str. 112 (vektorový součin). Vnější součin; [1]: str. 125 (vektorový součin).

• Vzdálenosti a odchylky bodových podprostorů; bodů, přímek a rovin.

PŘEDNÁŠKA Vzdálenosti; [1]: str. 169–175. Odchylky; [1]: str. 176–177. CVIČENÍ Vzdálenosti a odchylky; [1]: Příklady: str. 169–177 Obsahy, objemy, vzdálenosti a odchylky; [2]: Příklady a cvičení: str. 132/cv. 1; 136/Cv. 1,2; 143/Cv. 1, 2, 3; 159-160/Cv. 1-6. Příklad 1:  Vypočítejte objem čtyřstěnu, jehož stěny leží ve čtyřech rovinách daných rovnicemi x + y + z - 10 = 0, 2x + 6y - z + 2 = 0, -x - y + 9z - 7 = 0, x - y - z + 9 = 0. [Řešení v GeoGebře] Příklad 2:  Čtyřstěn je dán body A[1, -5, 4], B[0, 3, 1], C[-2, -4, 3], D[4, 4, -2]. Vypočtěte jeho objem V a jeho výšku vA spuštěnou z bodu A na podstavu BCD. [Řešení v GeoGebře]

• Afinní zobrazení. Afinní transformace roviny a prostoru. Samodružné body a směry.

PŘEDNÁŠKA [4]; str. 15-22. [4]; str. 23-45. CVIČENÍ [4]; str. 15-45.

PŘEDNÁŠKA [4]; str. 15-22. [4]; str. 23-45. CVIČENÍ Příklady k opakování: Parametrické rovnice přímky a roviny, obecná rovnice roviny, vzdálenosti a odchylky.

• Základní afinity. Osová afinita. Modul afinity.

PŘEDNÁŠKA [4]; str. 137-140. [5]; str. 26-29 (modul afinity). CVIČENÍ Příklady k opakování: Parametrické rovnice přímky a roviny, obecná rovnice roviny, vzdálenosti a odchylky.

• Shodnosti v rovině a v prostoru. Grupa shodností.

PŘEDNÁŠKA [4]; str. 46-47 (symetrie) [4]; str. 48-52 (osová souměrnost) [4]; str. 57-62 (středová souměrnost) CVIČENÍ [4]; str. 53-54 (osová souměrnost) [4]; str. 63 (středová souměrnost)

PŘEDNÁŠKA [4]; str. 46-47 (symetrie) [4]; str. 48-52 (osová souměrnost) [4]; str. 57-62 (středová souměrnost) CVIČENÍ [4]; str. 53-54 (osová souměrnost) [4]; str. 63 (středová souměrnost)

• Podobnosti v rovině a v prostoru. Grupa podobností.
• Stejnolehlost.

PŘEDNÁŠKA [4]; str. 99-107 (podobnost, podobnost trojúhelníků) [4]; str. 108-128 (stejnolehlost) CVIČENÍ [4]; str. 127-128 (podobnost, stejnolehlost)

Literatura

[1]  Pech, P., Analytická geometrie lineárních útvarů, České Budějovice, PF JU, 2004.
[2]  Hašek, R. Lineární algebra a geometrie, 21. 6. 2020.
[3]  Krieg, J., Vaňatová, L., Analytická geometrie lineárních útvarů, České Budějovice, PF JU, 1994.
[4]  Sekanina, M. a kol., Geometrie I, SPN, 1986.
[5]  Bican, L., Lineární algebra, Praha, SNTL 1979.
[6]  Motl, L., Zahradník, M., Pěstujeme lineární algebru, 3. vyd. Praha : Univerzita Karlova v Praze, nakladatelství Karolinum, 2002 [online verze].

Internetové odkazy

Software ke stažení

www.geogebra.org ... bezplatně dostupný program GeoGebra
wxmaxima.sourceforge.net ... bezplatně dostupný CAS program wxMaxima

Materiály pro výuku a sebevzdělávání

www.khanacademy.org/math ... Khan academy
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí

Zkouška

Zkouška má dvě části - písemnou a ústní. Předmětem písemné zkoušky je řešení čtyř úloh odpovídajících úlohám probíraným na přednáškách a cvičeních. Ústní zkouška spočívá v zodpovězení vylosované otázky a v prokázání schopnosti reagovat na položené otázky k učivu.

Hodnocení písemné části zkoušky: Maximální bodový zisk z písemné zkoušky činí 100 bodů. Písemná část zkoušky je ohodnocena známkou, jejíž hodnota závisí na získaném počtu bodů PB tímto způsobem: 0 < PB < 50 ... 4, 50<= PB < 60 ... 3, 60<= PB < 70 ... 2-, 70<= PB < 80 ... 2, 80<= PB < 90 ... 1-, 90<= PB <= 100 ... 1.

Výsledná známka z písemné části zkoušky vzejde z výše uvedeného hodnocení po započítání bonusu za řešení prémiových příkladů (0,25 stupně za každý úspěšně vyřešený prémiový příklad) a malusu za nedostatečnou aktivitu v hodinách semináře (konkrétně (3-k)(-0,25) klasifikačního stupně, kde k je počet vystoupení u tabule)

Výsledná známka ze zkoušky je tvořena známkou z písemné části spolu s hodnocením výkonu u ústní části zkoušky. Kdo získá z písemné části zkoušky méně než 50 bodů (tj. hodnocení 4), nemůže pokračovat ústní částí zkoušky. V případě neúspěchu, ať už v písemné nebo ústní části zkoušky, je možné zkoušku opakovat. Každý má nárok na jeden řádný termín a dva opravné. V případě neúspěchu u ústní části zkoušky není nutné písemnou část opakovat.

Otázky k ústní části zoušky: [Otázky ke zkoušce KMA/7G1 2022]

Možná cesta přípravy na otázky:

Otázka č. 1: [1] str. 126-141 — Otázka č. 2: [1] str. 142-151 — Otázka č. 3: [1] str. 58-78 — Otázka č. 4: [1] str. 169-175, 160-167

Otázka č. 5: [1] str. 104-112 — Otázka č. 6: [1] str. 113-125 — Otázka č. 7: [4] str. 15-46 — Otázka č. 8: [4] str. 15-22; [6] str. 28-31, 46-50

Otázka č. 9: [4] str. 23-56; 57-63 — Otázka č. 10: [4] str. 23-47; 64-78 — Otázka č. 11: [4] str. 99-107; 108-111; [6] str. 86

Otázka č. 12: [4] str. 108-128