GEOMETRIE II (KMA/7G2)

Příklady k řešení

1. Určete kuželosečku danou rovnicí:
   • a)  $9x^{2}-4y^{2}+18x+16y-43=0$,
   • b)  $-x^{2}+4y^{2}+8x-8y-12=0$,
   • c)  $x^{2}+2y^{2}+2x+4y+10=0$,
   • d)  $x^{2}+y^{2}+2x+3y+3=0$,
   • e)  $x^{2}+2x+y+3=0$.
   (Zdroj: Budinský, B. (1983) Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha.)
2. Napište rovnice tečen kružnice dané rovnicí $x^{2}+y^{2}-6x-4y+3=0$ v jejích průsečících s přímkou $p:\,y=x+3$, určete průsečík těchto tečen.
3. Veďte bodem $A[\frac{1}{2},\frac{9}{2}]$ tečny ke kružnici dané rovnicí $x^{2}+y^{2}-6x-4y+3=0$.
4. Napište rovnice tečen kružnice dané rovnicí $x^{2}+y^{2}+4x-10y-140=0$ v jejích průsečících s přímkou $q:\,x=3$.
5. Veďte bodem $M[2;1]$ tečny ke kružnici s rovnicí $(x-5)^{2}+(y-10)^{2}=9$.
6. Určete body dotyku tečen vedených bodem $O[0; 0]$ ke kružnici s rovnicí $x^{2}+y^{2}+10x+10y+49=0$.
7. Napište rovnice tečen elipsy, která má rovnici $(x-1)^{2}+\dfrac{(y+2)^{2}}{4}=1$, v jejích průsečících s přímkou $p:\,y=-2x$.
8. Bodem $M[2; 2]$ paraboly s rovnicí $y^2-6x+8=0$ veďte přímky, které nemají s parabolou žádný další společný bod.
9. Napište rovnici tečny paraboly, která má rovnici $y^{2}-4y+12x=0$, v jejím bodě $O[0; 0]$.
10. Najděte tečnu paraboly, která má rovnici $y^{2}-4y-6x+22=0$, rovnoběžnou s přímkou $p:\,y=x$.
11. Najděte tečny hyperboly s rovnicí $2x^{2}-y^{2}=2$ rovnoběžné s přímkou $p:\,y=2x$.

(Zdroj: Boček, L., Kočandrle, M. (2009) Analytická geometrie (Matematika pro gymnázia). Prometheus, Praha.)