DVPP: DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE I - KMA/DG1ZŽ |
Deskriptivní geometrie se věnuje zkoumání geometrických vztahů trojrozměrných objektů
prostřednictvím jejich dvojrozměrného znázornění.
Její studium nám tak zprostředkovává
poznání a pochopení stereometrických vztahů, učí nás, jak správně interpretovat
dvojrozměrné pohledy na tyto vztahy a také významně kultivuje naši schopnost prostorové
vztahy graficky vyjádřit způsobem každému srozumitelným.
V předmětu Deskriptivní geometrie I byste se měli naučit správně chápat vztahy mezi prostorovými útvary, tyto vztahy vhodně zvoleným způsobem znázorňovat a nebo naopak, takováto znázornění zpětně správně interpretovat. Získáte tak schopnost komunikovat se svým okolím o trojrozměrných objektech a jejich vztazích.
Úvod do deskriptivní geometrie. Testy prostorových schopností (orientace v prostoru, tvorba prostorových představ a manipulace s nimi):
|
Úvod do středové kolineace a osové afinity / Středová kolineace / Osová afinita
GeoGebra: [Středové promítání]
[Středová kolineace]
[Rovnoběžné promítání]
[Osová afinita]
Úkol 1: V programu GeoGebra 5 vytvořte modely těles dle níže uvedených obrázků i s popisem zobrazených bodů. Potom sestrojte řezy těchto těles rovinami určenými body A'B'C', resp. A'B'D'. ![]() ![]() ![]() ![]() Úkol 2: Osová afinita v rovině je dána osou o a dvojicí bodů P, P'. Sestrojte obraz daného trojúhelníku ABC. [Zadání v GeoGebře] Příklad: Je dána přímka o a trojúhelník ABC. Sestrojte obraz A'B'C' trojúhelníku ABC v takové osové afinitě, aby byl trojúhelník A'B'C' rovnostranný. [Řešení v GeoGebře]
Úkol 3: Sestrojte řez kvádru ABCDA'B'C'D' rovinou MNP; M je vnitřní bod hrany CC', pro který platí
4|CM|=|CC'|, N je střed hrany A'D' a bod P leží na prodloužení hrany B'B za bod B a platí 3|BP|=|BB'|.
|
Úkol 1: V axonometrii, která je zadána axonometrickým trojúhelníkem XYZ o stranách x=5, y=4 a z=5
sestrojte axonometrický průmět bodu A o souřadnicích A[3,5,6] spolu s jeho souřadnicovým kvádrem.
[Animace řešení]
Úkol 2: V kosoúhlém promítání, které je dáno úhlem zkosení ω = 145° a poměrem zkreslení q=1/2, zobrazte kosoúhlý průmět bodu A o souřadnicích A[3,5,6] spolu s jeho souřadnicovým kvádrem.
[Animace řešení]
|
Kótované promítání: Zobrazení bodu, přímky a úsečky.
Úkol 1: Určete délku úsečky AB; A[-4;2;5], B[2;-2;1].
Úkol 2: V kótovaném promítání jsou dány průměty bodů A, B; |A1B1| = 7 cm,
zA=5, zB=2. Určete: ![]() |
Úkol 4: Určete stopu a hlavní přímky roviny ρ=ABC; A=[2,5;3,5;1,5], B=[7;2,5;0,8], C=[5;6,5;4]. Sestrojte
odchylku roviny ρ od průmětny. Úkol 5: Určete velikost úhlu ACB (zobrazení trojúhelníku ABC ve skutečné velikosti). [Animace] Úkol 6: Zobrazení čtverce ABCD ve skutečné velikosti. [Animace] Úkol 7: V rovině ρ(6;7;4,5) zobrazte čtverec ABCD s úhlopříčkou AC, A[4;1;?], C[2;3;?]. Úkol 8: (Průsečnice dvou rovin) Sestrojte průsečnici rovin α=(5,5,5), β=(-6,4,2). [Animace] Vzájemná poloha přímky a roviny. Úkol 9: (Průsečík přímky s rovinou) Zobrazte průsečík přímky a=AB s rovinou ρ, která je dána spádovou přímkou s=LM; A=[2;2;1], B=[-5;2;4], L=[-3;4;0], M=[3;1;5]. [Animace]
Úkol 10: Zobrazte průsečík přímky a s rovinou ρ:
Úkol 11: Určete vzdálenost bodu C od přímky a = AB: A = [-5; 0; 2], B = [0; 4; 0], C = [5; 1; 3].[Animace] Aplikace kótovaného promítání: Řešení střechy: [Střecha 1 (Animace).] [Střecha 2 (Animace).] Opakování: Úlohy na procvičení. |
Úvod do Mongeova promítání - zobrazení bodu, přímky a roviny. Úkol 1: Sestrojte stopy roviny dané (i) třemi body, (ii) dvěma rovnoběžkami. [Zadání v pdf] Úkol 2: Sestrojte sdružené průměty hlavních přímek h, f roviny σ, která je dána dvěma rovnoběžkami a, b. Zobrazte stopy roviny σ. [Animace] Řešené příklady z přednášky:
Příklad 8: Sestrojte stopy roviny σ dané různoběžkami a, b. [Animace (stopníky)] [Animace (hlavní přmky)] Příklad 9: Sestrojte stopy roviny σ dané bodem A a přímkou b. [Animace]
Příklad 10: Určete sdružené průměty přímky AB, která leží v rovině ρ(-5; 5; 4); A = [0; 2; ?],
B = [2; 1; ?]. Příklad 12: Určete průsečík přímky AB s rovinou ν(-4; 4; 5), A = [2; 1; 0], B = [-5; 4; 8]. [Animace] Příklad 13: Bodem K = [2; 3; 4] veďte přímku kolmou k rovině ρ(-3; 4; 4). Příklad 14: Určete odchylku roviny ρ(-3; 4; 4) od půdorysny π. [Animace] Samostatná práce: Sestrojte stopy roviny dané přímkami a, b:
|
Mongeovo promítání II (metrické úlohy, kružnice). Příklad 15: Určete skutečnou velikost úsečky AB; A = [3; -1; 2], B = [0; 3; 3,5]. [Animace] Úkol 2: Určete vzdálenost bodu V=[5; 7; 7] od roviny ρ = (5; 4; 6). [Animace - sklopením] [Animace - otočením] Úkol 3: Sestrojte v Mongeově promítání sdružené průměty kružnice k, která leží v rovině kolmé na nákresnu. [Animace] Úkol 4: Sestrojte v Mongeově promítání sdružené průměty kružnice k, která leží v obecně umístěné rovině. [Animace] |
Mnohostěny. Krychle – kvádr – hranol / Hranolová plocha – hranol / Objem jehlanu (You Tube) Úloha 1: Dokažte, že úsečky spojující středy protějších hran čtyřstěnu mají společný střed (tímto bodem je těžiště čtyřstěnu). [Konstrukce v GG (2D)]
Úloha 2: Spojnice vrcholu čtyřstěnu s těžištěm protější stěny se nazývá těžnice čtyřstěnu.Těžnice čtyřstěnu mají společný bod – těžiště čtyřstěnu T. Vzdálenost těžiště čtyřstěnu od vrcholu je rovna 3/4 délky těžnice
(viz Commandino's Theorem; Frederico Commandino).
Eulerova formule: On-line ověření / Wikipedia: Euler characteristic / dynamický (topologický) důkaz
Platónská tělesa: Wikipedia: Platonic solid.
|
Pravidelné mnohostěny. |
[1] Drábek, K., Harant, F., Setzer, O.:. Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1978.
[2] Kargerová, M., Deskriptivní geometrie- pro technické školy vysoké, vyšší a střední. Montanex, Praha, 2007.
[3] Pomykalová, E., Deskriptivní geometrie pro střední školy. Prometheus, Praha, 2010.
[4] Urban, A.:. Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1982.
[5] Doležal, J.:. Základy geometrie a Geometrie, VŠB-TU Ostrava, on-line učebnice
[http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html].
[6] Pomykalová, E., Matematika pro gymnázia - Stereometrie. Prometheus, Praha, 1995.
[7] Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.
[8] Vrba, A.: Cabri 3D v2 Příručka pro uživatele.
Online: http://www.pf.jcu.cz/cabri/cabri3d/download/Cabri_3D_prirucka.pdf
sketchup.google.com ... aplikace Google SketchUp (možnost bezplatného stažení)
www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)
www.rhino3d.com ... 3D modelovací program Rhinoceros
Dalest Elica ... podpora výuky stereometrie
dg.vidivici.cz ... Program Deskriptivní geometrie
i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
http://www.korthalsaltes.com ... Paper models of polyhedra
Roman Hašek, katedra matematiky PF JU, kontakt: hasek@pf.jcu.cz