DVPP: GEOMETRIE 3 - KMA/3G3

Předmět Geometrie 3 je věnován především detailnímu seznámení s afinními transformacemi. Kromě toho jsou představeny vybrané významné věty z planimetrie a zevrubně probrán pojem mocnosti bodu ke kružnici spolu s jeho využitím v konstrukčních úlohách. V závěru je potom pojednáno o axiomatické výstavbě geometrie a je poskytnut úvod do neeukleidovských geometrií.

Přehled učiva: Afinní transformace. Druhy afinit. Samodružné body a směry. Modul afinity. Základní afinity. Osová afinita. Skládání afinních zobrazení. Grupa shodností prostorů E2, E3, En. Grupa podobností prostorů E2, En. Stejnolehlost. Skládání stejnolehlostí. Mongeova věta. Mocnost bodu ke kružnici. Vybrané věty z planimetrie: Menelaova a Cevova věta, kružnice devíti bodů, Eulerova přímka, Simsonovy přímky, Morleyova věta. Eukleidova a Hilbertova axiomatická soustava. Absolutní geometrie. Neeukleidovské geometrie.

Kompletní učební text ve formátu PDF: Hašek: GEOMETRIE 3

Další studijní texty pro úvod do planimetrie a analytické geometrie: [Hašek, R. (2020) Planimetrie], [Hašek, R. (2020) Lineární algebra a geometrie].



Osnova předmětu

  • Základní pojmy
    Grupa. Těleso. Vektorový prostor. Afinní bodový prostor. Afinní souřadnice bodů. Eukleidovský bodový prostor. Zobrazení. Dělicí poměr.

    DOPLŇKOVÉ STUDIJNÍ MATERIÁLY

    • LEISCHNER, P.: Geometrická zobrazení (dále uvedeno jenom odkazem [1], viz Literatura): str. 7-16

  • Afinní zobrazení
    Dělicí poměr. Definice afinního zobrazení (afinního bodového prostoru A do afinního bodového prostoru A'), jeho vlastnosti a analytické vyjádření. Věta o určenosti afinního zobrazení. Lineární zobrazení (homomorfismus) asociované s afinním zobrazením, jeho definice a analytické vyjádření. Příklady afinních zobrazení. Skládání afinních zobrazení.

    DOPLŇKOVÉ STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Afinity
    Dělicí poměr. Definice afinní transformace prostoru A (afinity). Afinní grupa prostoru A. Věta o určenosti afinity (obecně a konkrétně v E2 a v E3). Analytické vyjádření afinity (obecně a konkrétně v E2 a v E3) a s ní asociovaného lineárního zobrazení.

  • Modul afinity
    Analytické vyjádření afinity (obecně a konkrétně v E2 a v E3). Modul afinity a jeho role v definici afinity. Metrické vlastnosti modulu afinity. Přímé a nepřímé afinity. Skládání afinit. Grupa přímých afinit. Ekviafinní afinity (ekviafinity). Grupa ekviafinit.

    DOPLŇKOVÉ STUDIJNÍ MATERIÁLY

    • Působení afinní transformace roviny: ["Úprava" fotografie]
    • Zdůvodněte platnost tohoto tvrzení: Každé dva trojúhelníky jsou vzájemně afinní, tj. kterýkoliv z nich se zobrazí na ten druhý nějakou afinní transformací roviny.
    • [1]: str. 37-41

  • Samodružné body a směry afinního zobrazení
    Definice a určení samodružných bodů a směrů afinního zobrazení. Charakteristická rovnice asociovaného homomorfismu. Vlastní (charakteristické) číslo, vlastní (charakteristický) vektor homomorfismu. Homotetie, grupa homotetií.

    DOPLŇKOVÉ STUDIJNÍ MATERIÁLY

    • [1]: str. 41-47

  • Klasifikace afinit v rovině
    Příklady afinit v eukleidovské rovině. Klasifikace afinit v rovině.

    DOPLŇKOVÉ STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Osová afinita
    Určení osové afinity. Charakteristika a rovnice osové afinity. Elace. Základní afinity. Involuce.

    DOPLŇKOVÉ STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Grupa shodností eukleidovského prostoru
    Grupa shodností prostoru E2, E3, En.

    DOPLŇKOVÉ STUDIJNÍ MATERIÁLY

    • [1]: str. 69-89

  • Grupa podobností eukleidovského prostoru
    Grupa podobností prostoru E2, E3, En.

    DOPLŇKOVÉ STUDIJNÍ MATERIÁLY

    • [1]: str. 89-92

  • Stejnolehlost
    Stejnolehlost, skládání stejnolehlostí. Mongeova věta.

    DOPLŇKOVÉ STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Mocnost bodu ke kružnici
    Definice mocnosti bodu ke kružnici. Vlastnosti mocnosti. Chordála, potenční bod. Využití v konstrukčních úlohách.

    DOPLŇKOVÉ STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Axiomatická výstavba geometrie
    Euklidova a Hilbertova axiomatická soustava, absolutní geometrie.

    DOPLŇKOVÉ STUDIJNÍ MATERIÁLY

    • [12]  PAVLÍČEK, J. B. Základy neeukleidovské geometrie Lobačevského. Přírodovědecké nakladatelství, Praha, 1953. Dostupné na http://dml.cz/dmlcz/402750
      [13]  EUKLEIDES, Eukleidovy základy (Elementa), překlad F. Servít, 1907. Dostupné na https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eukleides_Servit.pdf
      [14]  EUKLEIDES, Základy. Knihy I--IV, V--VI, VII--IX, X, XI--XI., koment. Petrem Vopěnkou, OPS, Nymburk, 2008--2012.

  • Neeukleidovské geometrie
    Lobačevského geometrie. Riemannova geometrie. Modely neeukleidovské geometrie.

    DOPLŇKOVÉ STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Vybrané věty z planimetrie


Literatura

[1]  LEISCHNER, P.: Geometrická zobrazení, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2010.
[2]  KUŘINA, F.: 10 geometrických transformací, PROMETHEUS, Praha 2002.
[3]  BOČEK, L., SEKANINA, M. a kol.: Geometrie I, SPN, Praha 1988.
[4]  BOČEK, L., SEKANINA, M. a kol.: Geometrie II, SPN, Praha 1988.
[5]  BUDINSKÝ, B.: Analytická a diferenciální geometrie, SNTL, Praha, 1983.
[6]  POMYKALOVÁ, E.: Matematika pro gymnázia: Planimetrie, PROMETHEUS, Praha 2002.
[7]  KUŘINA, F.: 10 pohledů na geomatrii, Akademie věd České republiky, 1996.
[8]  VORÁČOVÁ, Š. a kol.: Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha, 2012.
[9]  PECH, P.: Analytická geometrie lineárních útvarů, České Budějovice, PF JU, 2004.
[10]  PECH, P.: Klasické vs. počítačové metody při řešení úloh v geometrii. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, České Budějovice, 2005.
[11]  HAŠEK, R.: Geometrie 3 (GE3SŽ) - Učební text .
[12]  PAVLÍČEK, J. B. Základy neeukleidovské geometrie Lobačevského. Přírodovědecké nakladatelství, Praha, 1953. Dostupné na http://dml.cz/dmlcz/402750
[13]  EUKLEIDES, Eukleidovy základy (Elementa), překlad F. Servít, 1907. Dostupné na https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eukleides_Servit.pdf
[14]  EUKLEIDES, Základy. Knihy I--IV, V--VI, VII--IX, X, XI--XI., koment. Petrem Vopěnkou, OPS, Nymburk, 2008--2012.
[15]  GATIAL, J., HEJNÝ, M. Stavba Lobačevského planimetrie, Škola mladých matematiků č. 24, Mladá fronta, Praha, 1969. Dostupné na http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/403684
[16]  TOEPELL, M. 100 let „Základů geometrie?: Rozhodující příspěvek Davida Hilberta k formalizaci matematiky, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, vol. 45 (2000), issue 2, pp. 89-97. Dostupné na http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/141025



Internetové odkazy

Software ke stažení

www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)

Materiály pro výuku a sebevzdělávání

i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
www.cut-the-knot.org ... Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles



Požadavky na studenta

Otázky ke zkoušce.

|Úvod| Lineární algebra| Lineární algebra a geometrie| Planimetrie|

Roman Hašek, katedra matematiky PF JU, kontakt: hasek@pf.jcu.cz