PLANIMETRIE - KMA/PLA

Předmět Planimetrie je věnován detailnímu seznámení s afinními transformacemi roviny, především se shodnostmi a podobnostmi, a s jejich použitím v konstrukčních úlohách.

Osnova předmětu

• Afinní zobrazení. Afinní transformace roviny.

  CVIČENÍ 1 Zaregistrujte se na stránkách www.google.com a www.geogebratube.org. Doma si nainstalujte program GeoGebra (www.geogebra.org). Příklad: V programu GeoGebra sestrojte trojúhelník ABC, opište mu kružnici ko a vepište mu kružnici kv.

  PŘEDNÁŠKA 1 Úvod. Zopakování základních pojmů. Geometrická zobrazení. Ukázky zobrazení v rovině: [Stejnolehlost] [Osová afinita] [Středová kolineace] [Kruhová inverze] Afinní transformace roviny: ["Úprava" fotografie]

  CVIČENÍ 2 (Dělicí poměr) Příklad 1: Přímka p je dána body A a B. Jaký je rozdíl v tom, když určíme polohu bodu C na této přímce a) jeho vzdálenostmi od bodů A, B, b) poměrem jeho vzdáleností od bodů A, B. Příklad 2:  Určete dělicí poměr (ABS) středu S úsečky AB vzhledem k jejím krajním bodům A, B. Příklad 3:  V rovině jsou dány dva pevné body A, B. Určete množinu všech bodů X této roviny, pro které platí |AX|/|BX|=k, kde k je reálné číslo. Domácí úkol:  Je dána přímka p a body A, B v téže polorovině s hraniční přímkou p. Najděte všechny body X ∈ p takové, že součet vzdáleností |AX|+|BX| je minimální.

  PŘEDNÁŠKA 2 Afinní zobrazení. Dělicí poměr. Afinní transformace roviny - Afinita.

  CVIČENÍ 3 (Rovnice afinního zobrazení) Příklad 1:  Pomocí appletu "Úprava" fotografie zapište maticové rovnice následujících zobrazení: (i) osová souměrnost podle osy y, (ii) středová souměrnost podle počátku, (iii) středová souměrnost se středem v bodě [0,5]. Příklad 2:  Dokažte Větu 2 (věta o určenosti afinního zobrazení v rovině) z přednášky č. 2. Příklad 3:  Řešte Příklad 3.2 z přednášky č. 2.

• Shodná zobrazení v rovině. Analytické vyjádření shodností.

  PŘEDNÁŠKA 3 Shodná zobrazení v rovině.

• Osová souměrnost.

  CVIČENÍ 4 (Osová souměrnost) Vivianiho věta: Součet vzdáleností libovolného bodu v rovnostranném trojúhelníku od jeho stran je roven výšce tohoto trojúhelníku. [en.wikipedia.org: Viviani's theorem] [Dynamický důkaz] Fermatův bod:  Bod, pro který je součet jeho vzdáleností od vrcholů trojúhelníku minimální. [en.wikipedia.org: Fermat point] [Konstrukce Fermatova bodu] Domácí úkol:  V programu GeoGebra ověřte platnost tvrzení, že body souměrně sdružené s průsečíkem výšek podle stran trojúhelníka, leží na kružnici trojúhelníku opsané (Poznámka: Takovéto ověření nelze považovat za důkaz, ten si provedeme na následujícím cvičení.).

  PŘEDNÁŠKA 4 Analytické vyjádření shodností. [Řešení příkladu 4.2 (samodružné body a směry) v programu wxMaxima]

  CVIČENÍ 5 (Osová souměrnost) Příklad 1:  Dokažte tvrzení, že body souměrně sdružené s průsečíkem výšek podle stran trojúhelníka, leží na kružnici trojúhelníku opsané. [Důkaz využívající podobnosti trojúhelníků] Fagnanův problém: Danému ostroúhlému trojúhelníku vepište trojúhelník o nejmenším obvodu. [Fagnanův problém - řešení č. 1] [Fagnanův problém - řešení č. 2]

  PŘEDNÁŠKA 5 Analytické vyjádření shodností - Samodružné body a směry [Řešení příkladu 4.2 (samodružné body a směry) v programu wxMaxima]

  CVIČENÍ 6 (Osová souměrnost) Příklad 1:  Výpočtem určete samodružné body a směry vybraných shodností. Fagnanův problém: Danému ostroúhlému trojúhelníku vepište trojúhelník o nejmenším obvodu. [Fagnanův problém - řešení č. 1] [Fagnanův problém - řešení č. 2] Domácí úkol:  Přepište řešení příkladu 4.2 v programu wxMaxima (Výsledný soubor uložte ve své složce na Google Disku).

  PŘEDNÁŠKA 6 Osová souměrnost.

• Otočení. Středová souměrnost. Posunutí. Posunuté zrcadlení. Skládání shodností. Shodnosti přímé a nepřímé. Grupa shodností. Klasifikace shodností v rovině.

  CVIČENÍ 7 (Osová souměrnost) Osová souměrnost - úlohy k řešení.

  PŘEDNÁŠKA 7 Otočení. Otočení - úlohy k řešení.

  CVIČENÍ 8 Příklad:  Dokažte následující větu: V každém trojúhelníku dělí osa libovolného vnitřního úhlu protější stranu v poměru stran přilehlých.

  PŘEDNÁŠKA 8 Středová souměrnost. Úkol: S využitím uvedených apletů promyslete důkaz tvrzení "Každá shodnost se dá složit z nejvýše tří osových souměrností". Aplety: [přímá shodnost][nepřímá shodnost]

  CVIČENÍ 9 Středová souměrnost - úlohy k řešení.

  PŘEDNÁŠKA 9 Posunutí. Posunuté zrcadlení.

  CVIČENÍ 10 Posunutí - úlohy k řešení. Posunuté zrcadlení.

  PŘEDNÁŠKA 10 Skládání shodností. Shodnosti přímé a nepřímé. Grupa shodností.

• Stejnolehlost. Skládání stejnolehlostí v rovině. Stejnolehlost kružnic. Podobné transformace roviny.

  CVIČENÍ 11 Klasifikace shodností v rovině. (Odvození analytického vyjádření afinity v rovině.) Shodnosti v rovině - úlohy.

  PŘEDNÁŠKA 11 Podobné zobrazení. Stejnolehlost. Skládání stejnolehlostí v rovině. Aplet: [Skládání stejnolehlostí]

  CVIČENÍ 12 Stejnolehlost kružnic. Aplety: [Mongeova věta] [Eulerova přímka a kružnice devíti bodů] Stejnolehlost - úlohy k řešení.

  PŘEDNÁŠKA 12 Podobnosti eukleidovské roviny.

• Shodnosti a podobnosti v konstrukčních úlohách.

  CVIČENÍ 13 Podobnosti - úlohy k řešení.

  PŘEDNÁŠKA 13 Mocnost bodu ke kružnici.

• Mocnost bodu ke kružnici. Osová afinita.

  CVIČENÍ 14 Mocnost bodu ke kružnici - úlohy k řešení.

  PŘEDNÁŠKA 14 Osová afinita. (DRAFT) Dynamické znázornění principu rovnoběžného promítání a osové afinity: [Rovnoběžné promítání] [Osová afinita] Příklad: Je dána přímka o a trojúhelník ABC. Sestrojte obraz A'B'C' trojúhelníku ABC v takové osové afinitě, aby byl trojúhelník A'B'C' rovnostranný. [Řešení v programu GeoGebra]

Literatura

[1]  Sekanina, M. a kol.: Geometrie II, SPN, Praha 1988.
[2]  Pomykalová, E., Matematika pro gymnázia - Planimetrie. Prometheus, Praha, 2008.
[3]  Kuřina, F.: 10 geometrických transformací. Prometheus, Praha, 2002.
[4]  Sekanina, M. a kol.: Geometrie I, SPN, Praha 1988.
[5]  Leischner, P. Geometrická zobrazení, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2010.
[6]  Pech, P., Klasické vs. počítačové metody při řešení úloh v geometrii, České Budějovice, PF JU, 2005.
[7]  Kuřina, F.: 10 pohledů na geometrii. Akademie věd České republiky, 1996.
[8]  Audin, M.: Geometry, Springer, 2003.
[9]  Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983.
[10]  Pech, P., Analytická geometrie lineárních útvarů, České Budějovice, PF JU, 2004.
[11]  Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.
[12]  Vyšín, J. . a kol.: Geometrie pro pedagogické fakulty II, Bratislava, 1970.

Internetové odkazy

Software ke stažení

www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)

Materiály pro výuku a sebevzdělávání

i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
www.cut-the-knot.org ... Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
http://www.math.uoc.gr ... Geometrikon - galerie geometrických témat

Požadavky na studenta

• Zkouška.
  • Písemná a ústní zkouška v rozsahu probíraného učiva.
    [Otázky ke zkoušce KMA/PLA 2015] [Vzorové příklady KMA/PLA 2015]
    Řešení vzorového příkladu č. 1 (užití mocnosti bodu ke kružnici a pomocné kružnice)
    Řešení vzorového příkladu č. 1 (užití mocnosti bodu ke kružnici a Eukleidovy věty o odvěsně)