Úvod do studia matematiky II - KMA/7UM2 |
Předmět Úvod do studia matematiky II je věnován úvodu do elementární geometrie a jejímu zařazení do kontextu matematiky a matematického učiva. Pojmy a jevy zde naznačené budou detailně rozebírány v navazujících specializovaných kurzech geometrie (KMA/7G1 - Geometrie I, KMA/7G2 - Geometrie II, KMA/7G3 - Geometrie III, Odborná matematika III (nav.)).
Vhodné studijní texty (než zde bude uveden text věnovaný přímo tomuto předmětu):
[Hašek: Úvod do geometrie (2019).]
[Hašek: Planimetrie (2020).]
[Hašek: Lineární algebra a geometrie (2020).]
PŘEDNÁŠKA 1
Úvod do geometrie
|
Prémiový úkol č. 1: Na obrázku jsou znázorněny hranice dvou pozemků. Jejich společná hranice je tvořena lomenou čarou. Nahraďte jí úsečkou tak, aby výměra zahrad zůstala zachována. ![]() |
CVIČENÍ 1
Vytvořte si profil na stránce geogebra.org. Důkazy geometrických vět. Vyslovte a dokažte následující věty:
ÚKOL č. 1: Dokažte Varignonovu větu. Varignonova věta: Středy stran libovolného čtyřúhelníku tvoří rovnoběžník. (Pierre Varignon, 1654-1722) ![]() ÚKOL č. 2: Vyberte si libovolné tvrzení z Eukleidových Základů (Eukleides, Eukleidovy základy (Elementa), překlad F. Servít, 1907.) nebo z Archimedovy Knihy lemmat (Archimedes' Book of Lemmas.) a zpracujte ho, jak nejlépe dokážete, ve formě materiálu na geogebra.org (můžete uvést i zadání, komentáře, obrázky, videa apod.). |
PŘEDNÁŠKA 2
Geometrické útvary v roviněÚvod do geometrie (2019), str. 18-37.
|
Prémiový úkol č. 2: V rovnoramenném trojúhelníku ABC leží na ramenech AC a BC po řadě body K a L tak, že |AK|=|KL|=|LC| a |KC|=|AB|, viz obrázek. Určete velikost úhlu ACB. ![]() |
CVIČENÍ 2
Eukleidovské konstrukce, viz Úvod do geometrie (2019), str.~11.
ÚKOL: Dokažte, že pro každý lichoběžník ABCD s průsečíkem úhlopříček E platí, že trojúhelníky DAE a BCE mají stejný obsah, viz obrázek. Jaký je potom vztah mezi trojúhelníky ABE a CDE? ![]() ÚKOL: Charakterizujte následující rovinné útvary:
ÚKOL č. 2: Který z pravidelných mnohoúhelníků, kterými lze pokrýt rovinu (jedná se o rovnostranný trojúhelník, čtverec a pravidelný šestiúhelník), má při obsahu 1 m2 nejmenší obvod? Nejprve si tipněte, potom to spočítejte! Své řešení zpracujte tak, aby byl zřejmý postup Vašich výpočtů. |
PŘEDNÁŠKA 3
Úvod do geometrie (2019), str. 18-37. |
Prémiový úkol č. 3: Pět čtverců je uspořádáno jako na obrázku. Dokažte, že obsah (modrého) čtverce S je roven obsahu (červeného) trojúhelníku T. ![]() |
CVIČENÍ 3
ÚKOL: Charakterizujte následující rovinné útvary:
Příklady k řešení: Cvičení 3 ÚKOL č. 3: Sestrojte trojúhelník ABC jsou-li dány jeho těžnice ta, tb, tc. |
PŘEDNÁŠKA 4
Úvod do geometrie (2019), str. 38-44.
|
Prémiový úkol č. 4: Jakou částí obsahu čtyřúhelníku ABCD je obsah čtyřúhelníku EFGH, viz obrázek, jestliže |AE|=|EF|=|FB| a |DH|=|HG|=|GC|? Své tvrzení dokažte! ![]() |
CVIČENÍ 4
Příklady k řešení: Cvičení 4 [Řešení (viz úlohy 9 až 16)] ÚKOL č. 4: Řešte úlohu z maturitního testu z matematiky z jara 2015: Papírová čepice má tvar rotačního kužele. Po straně je slepena lepicí páskou. (Okraje papíru jsou k sobě přiloženy a v místě lepení se nepřekrývají.) Osovým řezem kužele je rovnostranný trojúhelník s délkou strany 16 cm. Kolik cm2 papíru je použito na čepici? Zdroj: iDNES.cz (11. 5. 2015) (zadání úlohy a diskuse nejednoznačnosti jejího zadání)
|
PŘEDNÁŠKA 5
![]() 14. 3. ... Pi Day Zobrazení trojrozměrného útvaru v roviněÚvod do geometrie (2019), str. 88-95.
![]() ![]() Středové promítání Rovnoběžné promítání Názorné promítání
![]() ![]() ![]() perspektiva pravoúhlá axonometrie kosoúhlé promítání
![]() Otázka: Je pro zobrazení všech těles na následujícím obrázku použito stejné promítání?
![]() LN: Matematika pro páťáky Sdružené průmětynárys, půdorys a bokorys
![]() Stavba z krychlíÚvod do geometrie (2019), str. 94ÚKOL: Načrtněte sdružené průměty, tj. nárys, půdorys a bokorys, pro následující stavbu z krychlí.
![]()
![]() ![]() ![]() Pohledy pro "nárys" - "půdorys" - "bokorys" Řešení:
![]() ÚKOL: Z krajních bodů úsečky AB jsou opsány oblouky o poloměru |AB|, které se protínají v bodě C, viz obrázek. Určete na oblouku CA bod M a na oblouku BC bod N tak, aby MN || AB a úhel NAM se rovnal danému ostrému úhlu α. ![]() Upozornění: Úlohu je třeba řešit tak, jako by byla hodnota úhlu α předem dána! Není možné dospět konstrukcí k nějakému úhlu a potom říci, že to je ten úhel α. Řešení: Tento úkol zadal v roce 1902 Josef Rudolf Vaňaus čtenářům Časopisu pro pěstování mathematiky a fysiky (ročník 31, číslo 3), viz Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, vol. 31 (3), Úloha 36, str. 262. Úspěšní řešitelé, spolu s jejich řešeními, byli potom uvedeni v 5. čísle téhož ročníku, viz Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, vol. 31 (5), str. 471-474. Pro vyřešení tohoto úkolu je třeba sestrojit třetinu známého úhlu, jak je vidět z výpočtu naznačeného v tomto materiálu: GeoGebra: Vaňausův Problém 36. Úkol sestrojit rozdělit daný úhel na tři stejné části, zvaný též trisekce úhlu, není možné vyřešit eukleidovsky, tj. pouze užitím pravítka a kružítka! Trisekce úhluTrisekce úhlu patří mezi tři klasické problémy trisekce úhlu, kvadratura kruhu a zdvojení krychle, které nelze vyřešit eukleidovsky, tj. použitím pravítka a kružítka; |
Prémiový úkol č. 5: Určete velikost vybarveného mezikruží, je-li délka tětivy tečné k jeho vnitřní hraniční kružnici 2 m, viz obrázek. ![]() |
CVIČENÍ 5
ÚKOL č. 5: Načrtněte nárys, půdorys a bokorys pro každou z níže zobrazených staveb z krychlí!
![]() ![]() ![]()
Úkol: Kolik různých krychlových těles (tvarů) můžeme vytvořit ze čtyř krychlí? Polycube
Wolfram MathWorld: Polycube
Soma cube Wikipedia: Soma cube |
PŘEDNÁŠKA 6
Symetrie rovinyÚvod do geometrie (2019), str. 58.
![]() ![]()
![]()
![]() ![]() ![]()
![]()
![]()
YouTube: Symmetry in Geometry
|
Prémiový úkol č. 6: Na obrázku vidíme obrazec, který vznikne spojením větší půlkružnice s dvěma menšími stejně velkými půlkružnicemi. Dokažte, že každá přímka p jdoucí bodem O rozděluje obvod tohoto obrazce na dvě stejné části! ![]() |
CVIČENÍ 6
ÚKOL č. 6: Dokažte Vivianiho větu: Součet vzdáleností libovolného bodu v rovnostranném trojúhelníku od jeho stran je roven výšce tohoto trojúhelníku. Příklad: Je dána přímka p a body A, B v téže polorovině s hraniční přímkou p. Najděte všechny body X ∈ p takové, že součet vzdáleností |AX|+|BX| je minimální. (tzv. Heronův problém; Hérón Alexandrijský, přibl. 10-70 n.l.) ÚKOL č. 6: Sestrojte trojúhelník, je-li dáno:
Řešení: Rozbor, postup konstrukce a diskuse (úterý 6. 4.) / Rozbor, postup konstrukce a diskuse (čtvrtek 8. 4.) |
PŘEDNÁŠKA 7
Shodnosti v rovině. Osová souměrnost. Středová souměrnost. Skládání geometrických zobrazení.Úvod do geometrie (2019), str. 65-73. Planimetrie (2020), str. 46-62. Shodná zobrazení v roviněGeometrické zobrazení v rovině: Geometrickým zobrazením v rovině rozumíme předpis, kterým je každému bodu X roviny (říkáme mu vzor) přiřazen právě jeden bod Y téže roviny (říkáme mu obraz).
ÚKOL: Vysvětlete pojmy samodružný bod, samodružná přímka, samodružný směr. Uveďte konkrétní příklady s využitím shodností v rovině. |
Prémiový úkol č. 7: Dort ve tvaru kvádru s čtvercovým půdorysem je po stranách a nahoře pokryt marcipánovým potahem, viz obrázek. Navrhněte postup, jak tento dort rozdělit na 7 dílů téhož objemu tak, aby každý obsahoval stejné množství chutného potahu. ![]() |
CVIČENÍ 7
ÚKOL: Vysvětlete pojmy samodružný bod, samodružná přímka, samodružný směr. Uveďte konkrétní příklady s využitím shodností v rovině. Osová souměrnost / Středová souměrnost / Otočení / Posunutí / Posunutá souměrnost Osová souměrnostPříklad: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dán jeho obvod o = 12 cm a úhly α = 60°, β = 45°. Rozbor příkladu (iPad - poznámky) / Rozbor příkladu (GeoGebra) Středová souměrnostPříklad: Je dán trojúhelník ABC a jeho vnitřní bod M. Sestrojte všechny úsečky XY se středem M a s krajními body X, Y na hranici trojúhelníku. Řešení: ![]() [GeoGebra applet] Detailní popis řešení příkladu je uveden v textu Hašek, R. Planimetrie na str. 59. Geogebra ClassroomŘešte výše uvedené příklady v prostředí GeoGebra Classroom Skládání zobrazení
![]() [GeoGebra applet] GeoGebra: Skládání dvou osových souměrností ÚKOL č. 7: Sestrojte lichoběžník ABCD, je-li dáno:
Řešení: Rozbor a postup konstrukce |
Prémiový úkol č. 8: Rovnostranný trojúhelník ABC o dělce strany 4 cm otočíme kolem jeho průsečíku výšek o 90°, dostaneme tak trojúhelník A'B'C', viz obrázek. Určete obsah průniku trojúhelníků ABC a A'B'C'. ![]() |
CVIČENÍ 8
ÚKOL č. 8: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:
Řešení: Rozbor a postup konstrukce (úterý 13. 4.) / Rozbor a postup konstrukce (čtvrtek 15. 4.) |
PŘEDNÁŠKA 9
Úsekový úhelÚsekový úhel příslušný k oblouku AB kružnice, viz obrázek, je úhel, jehož jedním ramenem je polopřímka AB a druhým ramenem je polopřímka AX, kde X je bod tečny ke kružnici v bodě A volený tak, aby oblouk AB byl částí úhlu BAX. (Terminologická komise JČMF. (1981) Slovník školské matematiky. Praha: Státní pedagogické nakladatelství.) ![]() ÚKOL: Jaký je vztah mezi velikostmi úhlů φ, ω a ψ, tj. mezi velikostmi obvodového, středového a úsekového úhlu příslušejícími témuž oblouku? Poznámky z přednášky (úsekový úhel): 7UM2 Pr 12.04.2021.pdf Vztah mezi velikostí obvodového a středového úhlu: Velikost obvodového úhlu příslušejícího oblouku AB je rovna polovině velikosti středového úhlu příslušejícího témuž oblouku. [GeoGebra aplet] Množina bodů v rovině, z nichž je daná úsečka vidět pod daným úhlemÚKOL: Sestrojte množin všech bodů v rovině, z nichž je úsečka AB vidět pod úhlem: a) α = 30°; b) β = 150°. |
Prémiový úkol č. 9: Jestliže má tětivový čtyřúhelník (tj. čtyřúhelník vepsaný do kružnice) vzájemně kolmé úhlopříčky, které se protínají v bodě E, přímka jdoucí bodem E kolmo k libovolné jeho straně půlí protilehlou stranu, viz obrázek. Dokažte! ![]() |
CVIČENÍ 9
ÚKOL č. 9:
![]() |
PŘEDNÁŠKA 10
![]() ![]() |
Prémiový úkol č. 10: Nad stranami AC a BC trojúhelníku ABC jsou sestrojeny čtverce ACDE a BFGC, viz obrázek. Potom poloha středu M úsečky EF nezávisí na umístění vrcholu C (tj. bod M nemění při pohybu bodu C svou polohu). Dokažte! ![]() |
CVIČENÍ 10
Geogebra ClassroomPřihlaste se do GeoGebra Classroom s kódem, který Vám bude sdělen. Příklad 1: Jsou dány různé rovnoběžné přímky a, b, c a bod A, který leží na přímce a. Sestrojte všechny rovnostranné trojůhelníky ABC, jejichž vrcholy B, C leží po řadě na přímkách b, c. Příklad 2: Jsou dány kružnice k, přímka p a bod A ležící vně k. Sestrojte rovnostranný trojúhelník s vrcholem v bodě A tak, aby zbývající vrcholy ležely na k a na p. ÚKOL č. 10: Jsou dány tři různé přímky p1, p2, p3 procházející bodem S; na přímce p1 je dán bod A různý od S. Sestrojte trojúhelník ABC, jehož osy vnitřních úhlů leží v přímkách p1, p2, p3. Proveďte rozbor úlohy náčrtkem a navrhněte postup konstrukce. Vlastní konstrukci proveďte formou online materiálu vytvořeného v GeoGebře, s případnou možností přehrát postup konstrukce krok za krokem. |
PŘEDNÁŠKA 11
Podobné zobrazení. Podobnost.Úvod do geometrie (2019), str. 80-83. Které z dvojic útvarů jsou vzájemně shodné či podobné?
![]() ![]()
![]() Shepard's tables Definice podobnosti: Podobné trojúhelníky. Podobné útvary.
![]()
![]() |
Prémiový úkol č. 11: V rovině je dán čtverec ABCD. Kružnice k prochází body A, B a dotýká se přímky CD. Označme M průsečík kružnice k a strany BC (různý od B), viz obrázek. Určete poměr |CM|:|MB|. ![]() |
CVIČENÍ 11
Příklad 1: Sestrojte alespoň jeden trojúhelník ABC, pro který platí |AB|:|AC| = 3:5, α = 60°, ρ = 1,8 cm (poloměr kružnice vepsané).
Řešení: GeoGebra applet
Příklad 2: Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno |∠DAB| = α, |∠ABD| = ε, |AC| = e.
Řešení: GeoGebra applet
sss, sus, usu, Ssu Věty o podobnosti trojúhelníkůsss, sus, uu, Ssu ![]() ![]() ![]() ![]() Protože existují dva různé trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu proti měnší z nich! ![]() ÚKOL č. 11: Jsou dány tři různé přímky o1, o2, o3 procházející bodem O; na přímce o1 je dán bod A1 různý od O. Sestrojte trojúhelník ABC tak, aby o1, o2, o3 byly osami jeho stran a bod A1 středem strany BC. Proveďte rozbor úlohy náčrtkem a navrhněte postup konstrukce. Vlastní konstrukci proveďte formou online materiálu vytvořeného v GeoGebře, s případnou možností přehrát postup konstrukce krok za krokem. |
PŘEDNÁŠKA 12
Stejnolehlost.Úvod do geometrie (2019), str. 84-87. / Planimetrie (2020)., str. 108-124. GeoGebra applet: Stejnolehlost Zobrazení kružnice ve stejnolehlosti
![]() ![]() [GeoGebra applet: Zobrazení kružnice ve stejnolehlosti] Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé; existují jedna, většinou však dvě stejnolehlosti, v nichž se jedna zobrazí na druhou. Zajímá nás, jak určíme středy těchto stejnolehlostí. Koeficenty jsou jasné, jejich absolutní hodnota je rovna poměru poloměrů příslušných kružnic, v pořadí obraz - vzor.
![]() [GeoGebra applet: Určení středů stejnolehlostí dvou kružnic] Společné tečny kružnic procházejí středy jejich stejnolehlostí, vnější tečny středem E, vnitřní tečny středem I. Stačí tedy najít tyto středy a potom sestrojit tečny z každého z nich k jedné z daných kružnic (užitím Thaletovy kružnice), automaticky budou tečnami i druhé kružnice.
![]() [GeoGebra applet: Konstrukce společných tečen dvou kružnic] Každá podobnost v rovině se dá rozložit na stejnolehlost a shodnost. Viz Geometrie 2 (2018), str. 102. |
Prémiový úkol č. 12: Na obrázku jsou dvě kružnice k a l, ze středu každé z nich jsou sestrojeny tečny k té druhé. Přitom tečny z bodu A protínají kružnici k v bodech P, Q a tečny z bodu B protínají kružnici l v bodech R a S. Dokažte, že |PQ|=|RS|. (GEO2-2020/PU12) ![]() |
CVIČENÍ 12
Geogebra ClassroomPřihlaste se do GeoGebra Classroom s kódem, který Vám bude sdělen. Příklad 1: Je dána kružnice k a bod M uvnitř této kružnice. Sestrojte všechny tětivy kružnice k, které jsou bodem M rozděleny na části v poměru 2:3. Příklad 2: Narýsujte libovolný trojúhelník ABC. Uvnitř strany AC sestrojte bod X a uvnitř strany BC bod Y tak, aby platilo |AX| = |XY| a XY || AB. ÚKOL č. 12: Do půlkruhu s průměrem AB vepište čtverec KLMN tak, aby strana KL ležela na úsečce AB a další dva vrcholy M, N na dané půlkružnici. |
PŘEDNÁŠKA 13
Mocnost bodu ke kružniciPlanimetrie (2020), str. 129-136.Rozdělení úsečky v poměru zlatého řezu ![]() Analytická geometrie.Úvod do geometrie (2019), str. 44-48. / Planimetrie (2020), str. 7-8. / Lineární algebra a geometrie (2020), str. 131-133. |
Prémiový úkol č. 13: Pro libovolný čtverec ABCD s vrcholem A na ose y a s k němu sousedním vrcholem B na ose x platí, že souřadnice jeho středu S (viz obrázek) jsou buď čísla shodná nebo opačná. Dokažte! (PLA-2017/PU4) ![]() |
CVIČENÍ 13
Příklad 1: V rovině jsou dány dva pevné body A[-1, 0] a B[1, 0]. Určete množinu všech bodů X[x, y] této roviny, pro které platí |AX|/|BX|=k, kde k je reálná konstanta (např. k = 2). [Řešení v GeoGebře] ÚKOL č. 13: V rovině jsou dány body A[0; 0], B[k; l]. Vyjádřete souřadnice středu S čtverce, jehož vrcholy jsou body A, B, pomocí souřadnic těchto bodů. |
PŘEDNÁŠKA 14
TopologieWikipedia: Topology / Wikipedia: Topologie Topologie je poměrně široká matematická disciplína. My na ní zde nazíráme pouze z perspektivy jejích počátků, kdy se jednalo o disciplínu geometrickou. Potom ji můžeme charakterizovat jeko geometrickou disciplínu, která se zabývá vlastnostmi geometrických objektů (obrazce či tělesa), které zůstanou zachovány i tehdy, když objekt podrobíme deformaci, která mění jeho metrické a projektivní vlastnosti. Viz například transformace hrnečku na torus nebo krávy na kulovou plochu na stránce https://en.wikipedia.org/wiki/Topology, nebo transformace reálného plánu města na mapu dopravního spojení, viz historie vzniku ikonického plánu tras podzemní dráhy v Londýně na stránce https://londonist.com/2016/05/the-history-of-the-tube-map. Známou úlohou, při jejímž řešení se dá výhodně uplatnit "topologický přístup" (tj. odhlédnutí od metrických vlastností a proporcí zkoumaného útvaru) je problém sedmi mostů města Královce, viz Wikipedia: Sedm mostů města Královce / Wikipedia: Seven Bridges of Königsberg. Grafická reprezentace problému sedmi mostů nás dovede k pojmu graf a k teorii grafů. Zkoumáme, zda lze daný graf nakreslit jedním tahem (takovému grafu říkáme Eulerovský). Na řešení stejné otázky jsou založené úlohy zvané jednotažky. ÚKOL: Prostudujte materiály věnované jednotažkám na stránce http://home.pf.jcu.cz/~math4all/aktivity_u_s.php?akt_id=701, Vymyslete vlastní jednotažku! Příkladem topologické věty (ve smyslu matematické věty) je Eulerova formule (též Eulerův vztah) pro konvexní mnohostěny: s + v - h = 2 ![]() 4 + 4 - 6 = 2 6 + 8 - 12 = 2 Euler's Formula (www stránka) / Wikipedia: Euler characteristic / dynamický (topologický) důkaz
Möbiova páska
|
Prémiový úkol č. 14: Podle levého obrázku rozstřiháme čtverec o straně 8 cm na čtyři části, z nichž sestavíme obrazec ve tvaru obdélníku vpravo. Jeho rozměry jsou 13 cm × 5 cm. Porovnáme-li obsahy obou obrazců, čtverce a obdélníku, zjistíme, že se liší o 1 cm2. Čtverec má obsah 64 cm2, obdélník pak 65 cm2. Jak mohl tento rozdíl vzniknout? Vysvětlete! (PLA-2018/PU3) ![]() ![]() |
CVIČENÍ 14
Příklad 1: Dokažte, že výšky v trojúhelníku, uvažované jako přímky, mají jeden společný bod. Tento bod nazýváme "ortocentrum". Řešení: GeoGebra (18.05.2021) |
[1] Pomykalová, E., Matematika pro gymnázia - Planimetrie. Prometheus, Praha, 2008.
[2] Kuřina, F.: 10 geometrických transformací. Prometheus, Praha, 2002.
[3] Kuřina, F.: 10 pohledů na geometrii. Akademie věd České republiky, 1996.
[4] Pech, P., Klasické vs. počítačové metody při řešení úloh v geometrii, České Budějovice, PF JU, 2005.
[5] Pech, P., Analytická geometrie lineárních útvarů,
České Budějovice, PF JU, 2004.
[6] Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.
[7] Sekanina, M. a kol.: Geometrie I, SPN, Praha 1988.
[8] Sekanina, M. a kol.: Geometrie II, SPN, Praha 1988.
[9] Leischner, P. Geometrická zobrazení, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2010.
[10] Audin, M.: Geometry, Springer, 2003.
[11] Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983.
[12] Vyšín, J. . a kol.: Geometrie pro pedagogické fakulty II, Bratislava, 1970.
[13] Eukleides, Eukleidovy základy (Elementa), překlad F. Servít, 1907.
Dostupné na https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eukleides_Servit.pdf
[14] Leydold, J., Petry, M. : Introduction to Maxima for Economics (pdf) [online]
[15] Hašek, R., Noruláková, M.: Program wxMaxima ve výuce matematiky (pdf) [online]. Sborník příspěvků 5. konference Užití počítačů ve výuce matematiky, 2011.
www.geogebra.org ... program GeoGebra (zdarma)
wxmaxima-developers.github.io/wxmaxima ... program wxMaxima (zdarma)
i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
www.cut-the-knot.org ... Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
http://www.math.uoc.gr ... Geometrikon - galerie geometrických témat
Roman Hašek, katedra matematiky PF JU, kontakt: hasek@pf.jcu.cz