DVPP: DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 2 (SŠ)

Deskriptivní geometrie se věnuje zkoumání geometrických vztahů trojrozměrných objektů prostřednictvím jejich dvojrozměrného znázornění.
Její studium nám tak zprostředkovává poznání a pochopení stereometrických vztahů, učí nás, jak správně interpretovat dvojrozměrné pohledy na tyto vztahy a také významně kultivuje naši schopnost prostorové vztahy graficky vyjádřit způsobem každému srozumitelným.

Předmět Deskriptivní geometrie 2 se věnuje především zobrazování základních těles (hranol, jehlan, kvádr, válec, kužel a koule) v Mongeově promítání, kosoúhlém promítání a v pravoúhlé axonometrii.

Osnova předmětu

Kapitola 1:  Osová afinita, afinita mezi kružnicí a elipsou. Úvod, představení probíraných zobrazovacích metod / Středová kolineace / Osová afinita Princip středového a rovnoběžného promítání (Středové promítání / Rovnoběžné promítání). Středová kolineace a osová afinita, v prostoru i v rovině (Středová kolineace / Osová afinita). Příklad: Je dána přímka o a trojúhelník ABC. Sestrojte obraz A'B'C' trojúhelníku ABC v takové osové afinitě, aby byl trojúhelník A'B'C' rovnostranný. [Řešení v programu GeoGebra]

Kapitola 2:  Elipsa jako afinní útvar ke kružnici. Elipsa jako afinní útvar ke kružnici. Příklad: Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte krychli, která má na stěnách nakresleny kružnice o průměru a (délka hrany krychle). [Krychle s kružnicemi na stěnách.] [Řešení v programu GeoGebra.] Příklad: Jsou dány sdružené průměry elipsy k. Krajní body jednoho z nich jsou současně krajními body kružnice l. Určete afinitu, v níž kružnici l odpovídá elipsa k. [Znázornění v programu GeoGebra.] Trojúhelníková konstrukce elipsy, proužková konstrukce elipsy, Rytzova konstrukce elipsy (postup Rytzovy konstrukce elipsy) a jejich souvislosti s afinitou elipsy a kružnice. Zobrazení kružnice ležící v půdorysně (v rovině xy) v Mongeově promítání a v kosoúhlém promítání Příklad: Zobrazte rotační kužel s podstavou k(S;r); S = [6,5,0], r = 5 cm, ležící v půdorysně a s výškou v = 5 cm: v Mongeově promítání, [Rešení] v kosoúhlém promítání; ω = 135°, q = 1/2. [Rešení] Příklad: V osové afinitě dané osou o a dvojicí sobě odpovídajících bodů A, A' zobrazte danou kružnici k tak, aby se dvojice jejích sdružených průměrů (musíte je určit) zobrazila přímo na osy odpovídající elipsy. [Řešení v programu GeoGebra / Řešení v programu GeoGebra krok za krokem]

Kapitola 3:  Připomenutí vybraných zobrazovacích metod - Mongeovo promítání, kótované promítání, kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie Vybrané metody promítání. Kótované promítání: Zobrazení bodu, přímky a úsečky. Zobrazení roviny. Vzájemná poloha přímky a roviny. Úvod do Mongeova promítání - zobrazení bodu, přímky a roviny. Mongeovo promítání II (metrické úlohy, kružnice). Příklad 1:  V KP určete délku úsečky AB; A[-4;2;5], B[2;-2;1]. [3D znázornění (GeoGebra), Animace řešení, varianta 1, Animace řešení, varianta 2] Příklad 2: (Průsečnice dvou rovin)   V KP sestrojte průsečnici rovin α=(5,5,5), β=(-6,4,2).  [Animace] Příklad 3: (Průsečík přímky s rovinou)   V KP zobrazte průsečík přímky a=AB s rovinou ρ, která je dána spádovou přímkou s=LM; A=[2;2;1], B=[-5;2;4], L=[-3;4;0], M=[3;1;5].  [Animace] Příklad 4:  V KP určete vzdálenost bodu C od přímky a = AB: A = [-5; 0; 2], B = [0; 4; 0], C = [5; 1; 3].   [Animace] Příklad 5: Sestrojte v MP stopy roviny σ dané různoběžkami a, b.  [Animace (stopníky)] [Animace (hlavní přmky)] Příklad 6: Sestrojte v MP stopy roviny σ dané bodem A a přímkou b.   [Animace] Příklad 7: V MP určete sdružené průměty přímky AB, která leží v rovině ρ(-5; 5; 4); A = [0; 2; ?], B = [2; 1; ?]. [Animace, Přímka v rovině (GeoGebra 3D)] Příklad 8: V MP určete průsečík přímky AB s rovinou ν(-4; 4; 5), A = [2; 1; 0], B = [-5; 4; 8].   [Animace] Příklad 9: V MP určete odchylku roviny ρ(-3; 4; 4) od půdorysny π.   [Animace] Příklad 10: Určete v MP skutečnou velikost úsečky AB; A = [3; -1; 2], B = [0; 3; 3,5].   [Animace] Příklad 11: Určete v MP vzdálenost bodu V=[5; 7; 7] od roviny ρ = (5; 4; 6). [Animace - Řešení sklopením]   [Animace - Řešení otočením] Příklad 12: Sestrojte v Mongeově promítání sdružené průměty kružnice k, která leží v rovině kolmé na nákresnu. [Animace] Příklad 13: Sestrojte v Mongeově promítání sdružené průměty kružnice k, která leží v obecně umístěné rovině. [Animace]

Kapitola 4:  Zobrazení kružnice v půdorysně. Zobrazení kužele v pravoúhlé axonometrii. Příklad na zopakování (zobrazení bodu v pravoúhlé axonometrii): V axonometrii, která je zadána axonometrickým trojúhelníkem XYZ o stranách x = 5, y = 4 a z = 5 sestrojte axonometrický průmět bodu A o souřadnicích A[3,5,6] spolu s jeho souřadnicovým kvádrem. [Animace řešení (GeoGebra)] Příklad: Zobrazte rotační kužel s podstavou k(S;r); S = [6,5,0], r = 5 cm, ležící v půdorysně a s výškou v = 5 cm: v pravoúhlé axonometrii [XY = 8, YZ = 10, XZ = 9]. [Rešení] POMOCNÉ PŘÍKLADY: 1. K elipse určené ohnisky F1, F2 a hlavními vrcholy A, B veďte bodem R tečny; F1F2 = 5, AB = 8, F1R = 5, F2R = 6. [Postup řešení] 2. Elipsa f je dána hlavními vrcholy A, B a jedním bodem M. Určete její vedlejší vrcholy C, D a ohniska F1, F2 Při řešení pomocných příkladů využijeme následující vlastnosti elipsy. V: Tečna elipsy půlí vnější úhly průvodičů bodu dotyku. V: [Řídicí kružnice elipsy] Množina všech bodů, které jsou souměrně sdružené s jedním ohniskem elipsy podle jejích tečen, je kružnice se středem v druhém ohnisku a s poloměrem rovným délce hlavní osy elipsy. V: [Vrcholová kružnice elipsy] Množina všech pat kolmic, které jsou spuštěny z ohnisek elipsy na její tečny, je kružnice opsaná okolo středu elipsy s poloměrem rovným délce její hlavní poloosy.

Kapitola 5:  Zobrazení hranolu s podstavou v půdorysně (v MP, kosoúhlém promítání a v pravoúhlé axonometrii). Příklad: Sestrojte průmět (sdružené průměty) pravidelného šestibokého hranolu o výšce v = 9, jehož podstava ABCDEF leží v π; A[2; 8; 0], D[8;1,5;0] ([1], str. 264): v Mongeově promítání, v kosoúhlém promítání; ω = 120°, q = 3/4. v pravoúhlé axonometrii [∠xz = 105°, ∠xy = 135°, XY ≈ 10]. Axonometrický průmět šestibokého hranolu Příklad: Sestrojte průmět (sdružené průměty) pravidelného pětibokého hranolu hranolu o výšce v = 8, jehož podstava ABCDEF leží v π; A[10; 10; 0], S[6;6;0]: v Mongeově promítání, v kosoúhlém promítání; ω = 120°, q = 3/4. v pravoúhlé axonometrii [XY = 9, YZ = 10, XZ = 11]. POMOCNÝ PŘÍKLAD   (Konstrukce pravidelného pětiúhelníku.): Sestrojte pravidelný pětiúhelník, znáte-li jeho stranu a, kružnici jemu opsanou o poloměru r.

Kapitola 6:  Řez pravidelného n-bokého hranolu rovinou. Řez pravidelného n-bokého jehlanu rovinou. Příklad: (Pokračování z minulé přednášky) Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu o výšce v = 9, jehož podstava ABCDEF leží v π; A[2; 8; 0], D[8;1,5;0], rovinou ρ=(20,15,10): v Mongeově promítání, v kosoúhlém promítání; ω = 120°, q = 3/4. v pravoúhlé axonometrii [∠xz = 105°, ∠xy = 135°, XY ≈ 10]. Řez šestibokého hranolu rovinou Příklad: Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu o výšce v = 8, jehož podstava ABCD leží v půdorysně π; A[2; 1; 0], S[4; 4;0], rovinou σ=(12,15,10): v Mongeově promítání, v kosoúhlém promítání; ω = 120°, q = 3/4. v pravoúhlé axonometrii [∠xz = 105°, ∠xy = 135°, XY ≈ 10]. Řez pravidelného čtyřbokého jehlanu rovinou

Kapitola 7: Řez válcové a kuželové plochy rovinou. Quételetova-Dandelinova věta. Příklad: V pravoúhlé axonometrii [XY = 10, YZ = 11, XZ = 12] zobrazte řez rotačního válce s podstavou v rovině π; [S[4; 4; 0], r = 3,5, v = 9] rovinou σ=(9; ∞; 8). Příklad: V pravoúhlé axonometrii [XY = 10, YZ = 11, XZ = 12] zobrazte řez kužele s podstavou v rovině π; [S[4,5; 4,5; 0], r = 4, v = 10] rovinou σ=(9; ∞; 8). Quételetova-Dandelinova věta pro válcovou plochu: Řez rotační válcové plochy rovinou, která je kosá k ose plochy, je elipsa. Jejími ohnisky jsou dotykové body kulových ploch, které jsou válcové ploše vepsány a dotýkají se roviny řezu. Délka její vedlejší poloosy se rovná poloměru válcové plochy ([1], str. 187).             Quételetova-Dandelinova věta pro válcovou plochu a její důkaz Rovnoběžný průmět koule. Použití Quételetovy-Dandelinovy věty pro válcovou plochu k určení ohnisek elipsy, která je kosoúhlým průmětem koule. Rovnoběžný průmět koule Quételetova-Dandelinova věta pro kuželovou plochu: Rovina, která naní vrcholová, ani není kolmá k ose a která s rovinou povrchové kružnice rotační kuželové plochy svírá úhel menší než povrchové přímky plochy, protíná rotační kuželovou plochu v elipse. Jejími ohnisky jsou dotykové body kulových ploch, které jsou vepsány kuželové ploše a dotýkají se roviny řezu ([1], str. 208).             Quételetova-Dandelinova věta pro kuželovou plochu a její důkaz

Kapitola 8: Řez válcové a kuželové plochy rovinou. Zobrazení sféry. Příklad: V pravoúhlé axonometrii [XY = 10, YZ = 11, XZ = 12] zobrazte řez rotačního válce s podstavou v rovině π; [S[4; 4; 0], r = 3,5, v = 9] rovinou σ=(9; ∞; 8). Řez válce rovinou [Řešení v programu GeoGebra] Příklad: V pravoúhlé axonometrii [XY = 10, YZ = 11, XZ = 12] zobrazte řez kužele s podstavou v rovině π; [S[4,5; 4,5; 0], r = 4, v = 10] rovinou σ=(9; ∞; 8). Řez kužele rovinou [Řešení v programu GeoGebra] Příklad: V kosoúhlém promítání (ω = 135°, q = 3/4) zobrazte kulovou plochu o poloměru r = 4 se středem v počátku soustavy souřadnic. Na kulové ploše zobrazte řezy souřadnicovými rovinami π=(xy), ν=(xz), μ=(yz). Kulová plocha Řešení: Kosoúhlým průmětem kulové plochy (sféry) je elipsa (viz obrázek). Jejími ohnisky jsou (dle Quételetovy-Dandelinovy věty pro válcovou plochu) průměty krajních bodů průměru sféry, který je kolmý k průmětně. V případě našeho příkladu leží tento průměr s krajními body E, F v ose y. Kulová plocha v kosoúhlém promítání Postup řešení: 1) Hlavní osa elipsy (která je kosoúhlým průmětem dané sféry) leží v ose y. Ohnisky elipsy jsou potom body E, F na ose y, pro které platí: |EO|=|FO|=qr (O je počátek soustavy souřadnic). 2) Vedlejší osa elipsy (která je kosoúhlým průmětem dané sféry) je kolmá k hlavní ose v bodě O. Vedlejšími vrcholy elipsy jsou potom body C, D na této kolmici, pro které platí: |CO|=|DO|=r. 3) Hlavní vrcholy A, B určíme užitím charakteristického trojúhelníku elipsy (a2 = b2 + e2).

Literatura

[1]  Drábek, K., Harant, F., Setzer, O.:. Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1978.
[2]  Kargerová, M., Deskriptivní geometrie- pro technické školy vysoké, vyšší a střední. Montanex, Praha, 2007.
[3]  Pomykalová, E., Deskriptivní geometrie pro střední školy. Prometheus, Praha, 2010.
[4]  Urban, A.:. Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1982.
[5]  Doležal, J.:. Základy geometrie a Geometrie, VŠB-TU Ostrava, on-line učebnice
      [http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html].
[6]  Pomykalová, E., Matematika pro gymnázia - Stereometrie. Prometheus, Praha, 1995.
[7]  Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.
[8]  Vrba, A.: Cabri 3D v2 Příručka pro uživatele.
      Online: http://www.pf.jcu.cz/cabri/cabri3d/download/Cabri_3D_prirucka.pdf
[9]  Harant, M., Lanta, O.: Deskriptivní geometrie pro II. a III. ročník SVVŠ, SPN, 1965.

Internetové odkazy

Software ke stažení

sketchup.google.com ... aplikace Google SketchUp (možnost bezplatného stažení)
www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)
www.rhino3d.com ... 3D modelovací program Rhinoceros
Dalest Elica ... podpora výuky stereometrie
dg.vidivici.cz ... Program Deskriptivní geometrie

Materiály pro výuku a sebevzdělávání

i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
http://www.korthalsaltes.com ... Paper models of polyhedra
http://sliceforms.wordpress.com/ ... Sliceforms

Testy prostorových schopností (orientace v prostoru, tvorba prostorových představ a manipulace s nimi)

Santa Barbara Solids Test ... http://spatiallearning.org/index.php/testsainstruments
Purdue Visualization of Rotations Test ... http://www.quiz.biz/quizz-250841.html

Požadavky na studenta

• Seminární práce.
  • Řešení domácích prací, které budou zadány v průběhu semestru (dvě tělesa, např. hranol a válec, vždy v Mongeově promítání, kosoúhlém promítání a v pravoúhlé axonometrii; vybrané rysy je možno po dohodě s vyučujícím rýsovat pomocí vhodného software).
    
• Zkouška.
  • Ústní zkouška (jejíž součástí je však i konstrukce či načrtnutí řešení úloh, které se týkají tématu otázky) v rozsahu probíraného učiva.
    OTÁZKY KE ZKOUŠCE
    

    [Otázka 6 - Obr. / Zadání v GeoGebře]

    Náhled řešení úkolu k otázce č. 6:
    
    

[Otázka 7 - Obr. / Řešení v GeoGebře]

[Otázka 8 - Obr. / Řešení v GeoGebře]

[Otázka 10 - Obr. / Řešení v GeoGebře]