DVPP: GEOMETRIE 3 (ZŠ)

Deskriptivní geometrie se věnuje zkoumání geometrických vztahů trojrozměrných objektů prostřednictvím jejich dvojrozměrného znázornění.
Její studium nám tak zprostředkovává poznání a pochopení stereometrických vztahů, učí nás, jak správně interpretovat dvojrozměrné pohledy na tyto vztahy a také významně kultivuje naši schopnost prostorové vztahy graficky vyjádřit způsobem každému srozumitelným.

Vybrané zobrazovací metody - Mongeovo promítání, kótované promítání, kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie Vybrané metody promítání. Kótované promítání: Zobrazení bodu, přímky a úsečky. Zobrazení roviny. Vzájemná poloha přímky a roviny. Úvod do Mongeova promítání - zobrazení bodu, přímky a roviny. Mongeovo promítání II (metrické úlohy, kružnice). Příklad 1:  V KP určete délku úsečky AB; A[-4;2;5], B[2;-2;1]. [3D znázornění (GeoGebra), Animace řešení, varianta 1, Animace řešení, varianta 2] Příklad 2: (Průsečnice dvou rovin)   V KP sestrojte průsečnici rovin α=(5,5,5), β=(-6,4,2).  [Animace] Příklad 3: (Průsečík přímky s rovinou)   V KP zobrazte průsečík přímky a=AB s rovinou ρ, která je dána spádovou přímkou s=LM; A=[2;2;1], B=[-5;2;4], L=[-3;4;0], M=[3;1;5].  [Animace] Příklad 4:  V KP určete vzdálenost bodu C od přímky a = AB: A = [-5; 0; 2], B = [0; 4; 0], C = [5; 1; 3].   [Animace] Příklad 5: Sestrojte v MP stopy roviny σ dané různoběžkami a, b.  [Animace (stopníky)] [Animace (hlavní přmky)] Příklad 6: Sestrojte v MP stopy roviny σ dané bodem A a přímkou b.   [Animace] Příklad 7: V MP určete sdružené průměty přímky AB, která leží v rovině ρ(-5; 5; 4); A = [0; 2; ?], B = [2; 1; ?]. [Animace, Přímka v rovině (GeoGebra 3D)] Příklad 8: V MP určete průsečík přímky AB s rovinou ν(-4; 4; 5), A = [2; 1; 0], B = [-5; 4; 8].   [Animace] Příklad 9: V MP určete odchylku roviny ρ(-3; 4; 4) od půdorysny π.   [Animace] Příklad 10: Určete v MP skutečnou velikost úsečky AB; A = [3; -1; 2], B = [0; 3; 3,5].   [Animace] Příklad 11: Určete v MP vzdálenost bodu V=[5; 7; 7] od roviny ρ = (5; 4; 6). [Animace - Řešení sklopením]   [Animace - Řešení otočením] Příklad 12: Sestrojte v Mongeově promítání sdružené průměty kružnice k, která leží v rovině kolmé na nákresnu. [Animace] Příklad 13: Sestrojte v Mongeově promítání sdružené průměty kružnice k, která leží v obecně umístěné rovině. [Animace]

Zobrazení kružnice v půdorysně. Zobrazení kužele v pravoúhlé axonometrii. Příklad na zopakování (zobrazení bodu v pravoúhlé axonometrii): V axonometrii, která je zadána axonometrickým trojúhelníkem XYZ o stranách x = 5, y = 4 a z = 5 sestrojte axonometrický průmět bodu A o souřadnicích A[3,5,6] spolu s jeho souřadnicovým kvádrem. [Animace řešení (GeoGebra)] Příklad: Zobrazte rotační kužel s podstavou k(S;r); S = [6,5,0], r = 5 cm, ležící v půdorysně a s výškou v = 5 cm: v pravoúhlé axonometrii [XY = 8, YZ = 10, XZ = 9]. [Rešení] POMOCNÉ PŘÍKLADY: 1. K elipse určené ohnisky F1, F2 a hlavními vrcholy A, B veďte bodem R tečny; F1F2 = 5, AB = 8, F1R = 5, F2R = 6. [Postup řešení] 2. Elipsa f je dána hlavními vrcholy A, B a jedním bodem M. Určete její vedlejší vrcholy C, D a ohniska F1, F2 Při řešení pomocných příkladů využijeme následující vlastnosti elipsy. V: Tečna elipsy půlí vnější úhly průvodičů bodu dotyku. V: [Řídicí kružnice elipsy] Množina všech bodů, které jsou souměrně sdružené s jedním ohniskem elipsy podle jejích tečen, je kružnice se středem v druhém ohnisku a s poloměrem rovným délce hlavní osy elipsy. V: [Vrcholová kružnice elipsy] Množina všech pat kolmic, které jsou spuštěny z ohnisek elipsy na její tečny, je kružnice opsaná okolo středu elipsy s poloměrem rovným délce její hlavní poloosy.

Zobrazení hranolu s podstavou v půdorysně (v MP, kosoúhlém promítání a v pravoúhlé axonometrii). Příklad: Sestrojte průmět (sdružené průměty) pravidelného šestibokého hranolu o výšce v = 9, jehož podstava ABCDEF leží v π; A[2; 8; 0], D[8;1,5;0] ([1], str. 264): v Mongeově promítání, v kosoúhlém promítání; ω = 120°, q = 3/4. v pravoúhlé axonometrii [∠xz = 105°, ∠xy = 135°, XY ≈ 10]. Axonometrický průmět šestibokého hranolu Příklad: Sestrojte průmět (sdružené průměty) pravidelného pětibokého hranolu hranolu o výšce v = 8, jehož podstava ABCDEF leží v π; A[10; 10; 0], S[6;6;0]: v Mongeově promítání, v kosoúhlém promítání; ω = 120°, q = 3/4. v pravoúhlé axonometrii [XY = 9, YZ = 10, XZ = 11]. POMOCNÝ PŘÍKLAD   (Konstrukce pravidelného pětiúhelníku.): Sestrojte pravidelný pětiúhelník, znáte-li jeho stranu a, kružnici jemu opsanou o poloměru r.

Kapitola 6:  Řez pravidelného n-bokého hranolu rovinou. Řez pravidelného n-bokého jehlanu rovinou. Příklad: (Pokračování z minulé přednášky) Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu o výšce v = 9, jehož podstava ABCDEF leží v π; A[2; 8; 0], D[8;1,5;0], rovinou ρ=(20,15,10): v Mongeově promítání, v kosoúhlém promítání; ω = 120°, q = 3/4. v pravoúhlé axonometrii [∠xz = 105°, ∠xy = 135°, XY ≈ 10]. Řez šestibokého hranolu rovinou Příklad: Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu o výšce v = 8, jehož podstava ABCD leží v půdorysně π; A[2; 1; 0], S[4; 4;0], rovinou σ=(12,15,10): v Mongeově promítání, v kosoúhlém promítání; ω = 120°, q = 3/4. v pravoúhlé axonometrii [∠xz = 105°, ∠xy = 135°, XY ≈ 10]. Řez pravidelného čtyřbokého jehlanu rovinou

Literatura

[1]  Pomykalová, E., Deskriptivní geometrie pro střední školy. Prometheus, Praha, 2010.
[2]  Urban, A.:. Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1982.
[3]  Doležal, J.:. Základy geometrie a Geometrie, VŠB-TU Ostrava, on-line učebnice
      [http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html].
[4]  Pomykalová, E., Matematika pro gymnázia - Stereometrie. Prometheus, Praha, 1995.
[5]  Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.

Internetové odkazy

Software ke stažení

sketchup.google.com ... aplikace Google SketchUp (možnost bezplatného stažení)
www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)
www.rhino3d.com ... 3D modelovací program Rhinoceros
Dalest Elica ... podpora výuky stereometrie
dg.vidivici.cz ... Program Deskriptivní geometrie

Materiály pro výuku a sebevzdělávání

i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
http://www.korthalsaltes.com ... Paper models of polyhedra
http://sliceforms.wordpress.com/ ... Sliceforms

Testy prostorových schopností (orientace v prostoru, tvorba prostorových představ a manipulace s nimi)

Santa Barbara Solids Test ... http://spatiallearning.org/index.php/testsainstruments
Purdue Visualization of Rotations Test ... http://www.quiz.biz/quizz-250841.html