prof. RNDr. Pavel Pech, CSc.
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích
Uplynulo více než 120 let od doby, kdy Karel Petr, profesor Univerzity Karlovy v Praze, formuloval větu, která se dnes nazývá Petrova věta. Je proto vhodná příležitost připomenout některé výsledky s touto větou související.
Nejprve se zaměříme na rovinné uzavřené mnohoúhelníky a podrobíme je harmonické analýze, tj. vyjádříme je ve formě součtu základních k-pravidelných mnohoúhelníků. Tuto harmonickou analýzu následně využijeme ke studiu Petrovy věty.
Dále se budeme zabývat lineárními transformacemi rovinných mnohoúhelníků. Budeme zkoumat dva druhy transformací, S-transformaci, která je popsána pomocí komplexních čísel a zachovává podobnost, a A-transformaci, která je definována pomocí reálných čísel a je invariantní vůči libovolné afinitě.
Nakonec použijeme A-transformace k zobecnění lineárních transformací mnohoúhelníků do prostoru, což vede k prostorové analogii harmonické analýzy mnohoúhelníků.
Petr’s theorem and harmonic analysis of polygons
Over 120 years have elapsed since K. Petr, the professor of Charles’s university in Prague, established a theorem which is called after him Petr’s theorem. So, it is a good occasion to remind some results which are connected with this theorem.
First, plane closed polygons are harmonically analyzed, i.e. they are expressed in the form of the sum of fundamental k-regular polygons. Using this harmonic analysis the Petr’s theorem is studied.
Then we will investigate plane linear polygon transformations. We will study two kinds of transformations – S-transformation which is described by means of complex numbers and preserves similarity and A-transformation which is defined by real numbers and is invariant under any affinity.
In the next part, we use A-transformations to generalization of linear polygon transformations into a space which leads to a space analog of harmonic analysis of polygons.