Matematika a její aplikace (KPE/3MA) - GEOMETRIE (R. Hašek)

UPOZORNĚNÍ: Předmět KPE/3MA: Matematika a její aplikace je zaměřen na celé učivo matematiky na 1. stupni základní školy. Tato webová stránka ale slouží jako opora pouze pro tu část předmětu, která je věnována tematickému okruhu Geometrie v rovině a v prostoru a která je vyučována Mgr. Romanem Haškem, Ph.D. (viz tučně vyznačená část níže uvedeného obsahu předmětu). Příprava na výuku ostatních tematických okruhů je v rámci tohoto předmětu vedena RNDr. Marikou Hrubešovou, Ph.D.



Obsah předmětu KPE/3MA

Pojem číslo a algebra (vytváření pojmu přirozené číslo, metody porovnávání čísel, rovnost, nerovnost, metodické prostředky numerace, rozdělení číselných oborů a rozšiřování číselného oboru, vyjádření přirozeného čísla v numerační soustavě, výklad podstaty základních aritmetických operací, nácvik spojů - metodika nácviku násobilky a "sčítalky", vlastnosti početních operací v množině přirozených čísel a jejich reprezentace; možnosti modelování číselných vztahů; - pre-algebraické myšlení - rovnice a nerovnice; algoritmizované postupy písemného počítání Práce s daty - jednoduché grafy, používání kalkulátorů.

Tvar a prostor - interpretace geometrických pojmů vhodná pro děti 6 - 11leté, alternativní geometrie, metody práce v geometrii.
Měření - teoretické základy měření, přehled jednotek měření používaných ve škole, praktické provádění měření.
Shodnost v geometrii, shodná zobrazení.

Úlohy rozvíjející funkční myšlení. Činnosti v matematice: řešení slovních úloh, řešení problémů, úlohy s otevřeným koncem, hry. Budou také probírána obecnější témata, která souvisí s matematickým vzděláváním na prvním stupni základního vzdělávání: cíle, jazyk, hodnocení a klasifikace, řízení třídy, péče o talentované žáky.



Cíle výuky geometrie na 1. stupni ZŠ

RVP ZV 2021

Obsah tematického okruhu Geometrie v rovně a v prostoru
(viz RVP ZV 2021, str. 33–34)

  • Základní útvary v rovině a v prostoru
    lomená čára, přímka, polopřímka, úsečka;
    čtverec, kružnice, obdélník, trojúhelník, kruh, čtyřúhelník, mnohoúhelník;
    kvádr, krychle, jehlan, koule, kužel, válec
  • Délka úsečky; jednotky délky a jejich převody
  • Obvod a obsah obrazce
  • Vzájemná poloha dvou přímek v rovině
  • Osově souměrné útvary

Očekávané výstupy
(viz RVP ZV 2021, str. 33)

  • Žák rozezná, pojmenuje, vymodeluje a popíše základní rovinné útvary a jednoduchá tělesa, nachází v realitě jejich reprezentaci;
  • porovnává velikost útvarů, měří a odhaduje délku úsečky,
  • rozezná a modeluje jednoduché souměrné útvary v rovině.
  • Žák narýsuje a znázorní základní rovinné útvary (čtverec, obdélník, trojúhelník a kružnici);
  • užívá jednoduché konstrukce, sčítá a odčítá graficky úsečky;
  • určí délku lomené čáry, obvod mnohoúhelníku sečtením délek jeho stran,
  • sestrojí rovnoběžky a kolmice, určí obsah obrazce pomocí čtvercové sítě a užívá základní jednotky obsahu,
  • rozpozná a znázorní ve čtvercové síti jednoduché osově souměrné útvary a určí osu souměrnosti útvaru překládáním papíru.



Studijní opory



GEOMETRIE



Hlavní témata prezenční výuky

  1. Principy didaktické struktury geometrie dle Františka Kuřiny
  2. Trojúhelníková nerovnost
  3. Jednoznačnost zadání trojúhelníku délkami jeho stran; aplikace v praxi
  4. Práce s geoboardem; tvary, obsahy (kolik různých trojúhelníků na geoboardu 3x3?)
  5. Určení obsahu n-úhelníku užitím čtvercové sítě
  6. Vyplňování roviny n-úhelníky; vnitřní úhel pravidelného n-úhelníku
  7. Shodnost trojúhelníků; shodnost přímá a nepřímá, věty o (kritéria) shodnosti trojúhelníků
  8. Podobnost trojúhelníků; věty o (kritéria) podobnosti trojúhelníků
  9. Měření délek; Archimédův axiom
  10. Koeficient lineární, plošné a objemové změny
  11. Symetrie; příklady z reálného světa, vytah ke shodným zobrazením
  12. Zobrazení trojrozměrného útvaru; volné rovnoběžné promítání, kolmé průměty (nárys, půdorys, bokorys)
  13. Krychlová tělesa (tvary) a krychlové stavby; sdružené průměty, kótovaný půdorys, objem (kolik tvarů ze čtyř kostek?)
  14. Zásady rýsování


Tvar a prostor

  • Teoretická východiska výuky geometrie

  • Trojúhelník. Mnohoúhelníky a ostatní rovinné útvary.

    • O jakých vlastnostech trojúhelníku/čtyřúhelníku vypovídají uvedené obrázky?

      Trojúhelník je dán délkami stran   Ne každé tři délky mohou být stranami trojúhelníku   Čtyřúhelník není dán jednoznačně délkami svých stran   Čtyřúhelník není dán jednoznačně délkami svých stran

      Lávka   Potrubí Stožár

      Trojúhelník je dán jednozačně délkami svých stran (sss).

      • Věty o shodnosti trojúhelníků

        sss, sus, usu, Ssu

      • Věty o podobnosti trojúhelníků

        sss, sus, uu, Ssu

        sss   sus   uu   Ssu
        Proč nelze uvažovat shodu v úhlu proti menší ze stran?
        Protože existují dva různé trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu proti měnší z nich!
        ssu
    • K čemu Vás inspirují tyto obrázky?

      Pravidelné šestiúhelníkové dlaždice   Čtvercové dlaždice

      Obdélníkové dlaždičky   Obdélníkové dlaždičky

    • Tangram. Na co se můžeme ptát?

      Tangram   Tangram - pes

      Online tangram

      ÚKOL: Dle uvedeného obrázku si vyrobte Tangram (pokud tento hlavolam již nevlastníte) a pokuste se, užitím všech jeho součástí, jak stanoví pravidla, vytvořit co nejvíce různých konvexních n-úhelníků. Nafoťte nebo nakreslete.

    • Trojúhelníky (LN: Matematika pro páťáky) / prototypy

      Trojúhelníky

    • Popište obrázek. Co je na něm zachyceno?

      Zavlažování
      Google Maps: Kansas

  • Čtvercová síť
  • Geoboard

    Procvičení výpočtu obsahu ve čtvercové síti: Ukol_ctvercova_sit_2022.pdf

    ÚKOL: Kolik různých trojúhelníků (všechny vzájemně shodné uvažujeme jako jeden) můžeme vytvořit na geoboardu 3x3? Umíte je všechny pojmenovat (tj. použít pojmy pravoúhlý, rovnoramenný, tupoúhlý, ...)? Umíte u všech určit obsah (pokud předpokládáme, že vzdálenost sousedních kolíků desky je 1)? Zkuste to! Trojúhelníky nakreslete a opatřete výpočty obsahů. Více o geoboardu viz např. https://en.wikipedia.org/wiki/Geoboard.

  • Jordanova-Peanova míra
    Jordanova-Peanova míra
    Rybník Lusný (Mapy.cz)
    [Lusný - čtvercová síť]
  • Měření

    Archimedův axiom: Pro libovolná dvě kladná čísla a, b existuje přirozené číslo n takové, že na>b. (Archimedean property )

    GeoGebra - Nákresna

    Řádová velikost (délka)

    Koeficient délkové / plošné / objemové změny.

  • Důkazy

    Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku / čtyřúhelníku. Obsah obdélníku / rovnoběžníku / trojúhelníku / lichoběžníku. Pythagorova věta. Thaletova věta.

    YouTube: Pythagoras theorem without words

    Pythagorova věta dle Eukleida

    Pythagorova věta; důkaz dle Perigala

  • Symetrie. Shodná zobrazení.
    • Co Vás zaujme na uvedených obrázcích? Popište tyto jevy.

      Zwettel - vchod   Zelená Hora - průčelí   Alhambra - kachel

      Hořec bezlodyžný   Barvínek menší   Zwettel - náhrobek

      Stopy kachny v Cumberland Wildlife Park Grünau  

      Objekt, motiv či jev je symetrický, pokud existuje transformace (která není identitou), po jejímž uplatnění zůstane totožný sám se sebou (vizuálně nezměněn, případně zmenšený či zvětšený). Též můžeme říci, že daný objekt je vůči příslušné transformaci invariantní.

    • Najděte co nejvíce rovinných transformací popisujících vztahy mezi konkrétními dvojicemi dlaždic. Vypočítejte vnitřní úhly n-úhelníků tvořících dlaždice.

      Zelená Hora

    • Mathematikus.de: Skládání papíru.

  • Podobné zobrazení. Podobnost.
    • Jaké geometrické vztahy můžeme objevit na těchto obrázcích?

      Dvě koule jsou si podobné   Krabice mléka si nejsou podobné

    • b>Které z dvojic útvarů jsou vzájemně shodné či podobné?

      Shodné útvary   Podobné útvary

      Shepardovy stoly
      Shepard's tables

    • Podobné útvary.

      Podobné obdélníky

      Podobné trojúhelníky

      ÚKOL: Zdůvodněte podobnost trojúhelníků na obrázku!

  • Krychlové stavby. Krychlová tělesa.

    Sjednocení konečného počtu shodných krychlí tak, že každá má společnou stěnu s některou další krychlí. U krychlového tělesa (tvaru) nezáleží na orientaci v prostoru. Krychlová stavba je takovým sjednocením krychlí (opět tak, že každá má aspoň jednu stěnu celou společnou s další), které volně spočívá na rovné podložce.

    Stavba z kostek - názorné promítání

    Stavba z kostek - názorné promítání Stavba z kostek - názorné promítání Stavba z kostek - názorné promítání
    nárys - půdorys - bokorys

  • Metody práce v geometrii
    Hošpesová, A. Metody práce v geometrii na 1. stupni ZŠ: Rýsování. Metodický portál RVP.CZ, 2014.





Literatura



Další literatura pro hlubší studium

Kuřina, F. 10 geometrických transformací. Prometheus, Praha, 2002.

Kuřina, F. 10 pohledů na geometrii. Akademie věd České republiky, 1996.

Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Prometheus, Praha.

Pomykalová, E. Matematika pro gymnázia - Planimetrie. Prometheus, Praha, 2008.

Pomykalová, E. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. Prometheus, Praha, 2014.

Jacobs, H. R. Geometry: seeing, doing, understanding. 3rd ed. New York: W.H. Freeman and Co., 2003.

Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.

Vyšín, J. a kol.: Geometrie pro pedagogické fakulty I. díl, SPN, Praha, 1965.

Eukleides, Eukleidovy základy (Elementa), překlad F. Servít, 1907.
Dostupné na https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eukleides_Servit.pdf



Internetové odkazy

Jednotné přijímací zkoušky - osmiletá gymnázia

https://prijimacky.cermat.cz/menu/testova-zadani-k-procvicovani/testova-zadani-v-pdf/osmilete-obory-matematika

Online kurzy

https://khanovaskola.cz ... Khanova škola

https://www.ixl.com ... IXL

Software ke stažení

www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)

Materiály pro výuku a sebevzdělávání

Wolfram Demonstrations Project
www.cut-the-knot.org (Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles)
http://www.math.uoc.gr (Geometrikon - galerie geometrických témat)



Roman Hašek, katedra matematiky PF JU, kontakt: hasek@pf.jcu.cz