PLANIMETRIE - KMA/PLA |
Předmět Planimetrie je věnován detailnímu seznámení s afinními transformacemi roviny, především se shodnostmi a podobnostmi, a s jejich použitím v konstrukčních úlohách.
Kompletní učební text ve formátu PDF: Hašek: PLANIMETRIE - KMA/PLA (aktualizováno 9. 4. 2018).
Kompletní učební text ve formátu PDF: Hašek: PLANIMETRIE - KMA/PLA (aktualizováno 19. 5. 2020).
PŘEDNÁŠKA 1
Úvod. Vybrané pojmy, které budeme dále používat. Geometrická zobrazení. GeoGebra: [Rovnoběžné promítání] [Středové promítání]
Příklad 1: Pomocí programu GeoGebra vyzkoumejte, zda se v následujících zobrazeních zobrazí střed úsečky zase na střed úsečky: stejnolehlost, osová afinita, středová kolineace, kruhová inverze.
Prémiový úkol č. 1: Na obrázku jsou znázorněny hranice dvou pozemků. Jejich společná hranice je tvořena lomenou čarou. Nahraďte jí úsečkou tak, aby výměra zahrad zůstala zachována. |
CVIČENÍ 1 (Geometrické zobrazení)
Zaregistrujte se na stránce geogebra.org. Vstupte do skupiny PLA 2020! Příklad 1: Sestrojte libovolný trojúhelník ABC a jeho střední příčky. Věta o středních příčkách trojúhelníku říká, že střední příčka trojúhelníku je rovnoběžná s protilehlou stranou a její délka je vzhledem k této straně poloviční. Pokuste se tuto větu dokázat. Jaký je vztah mezi trojúhelníky, které na obrázku vidíme? Varignonova věta: Středy stran libovolného čtyřúhelníku tvoří rovnoběžník. (Pierre Varignon, 1654-1722) Domácí úkol č. 1: Užitím programu GeoGebra sestrojte libovolný čtyřúhelník KLMN a středy jeho stran O, P, Q, R. Ověřte pravdivost tvrzení Varignonovy věty a pokuste se ji dokázat. Potom vyslovte hypotézu o vztahu obsahů čtyřúhelníku KLMN a rovnoběžníku OPQR. Tuto hypotézu také dokažte. Řešení úkolu vložte do skupiny PLA 2020. |
PŘEDNÁŠKA 2
Afinní zobrazení. Dělicí poměr. Příklad 1: Určete dělicí poměr (ABS) středu S úsečky AB vzhledem k jejím krajním bodům A, B. Prémiový úkol č. 2: Určete velikost vybarveného mezikruží, je-li délka tětivy tečné k jeho vnitřní hraniční kružnici 2 m, viz obrázek. |
CVIČENÍ 2 (Dělicí poměr)
Příklad 1: Přímka p je dána body A a B. Jaký je rozdíl v tom, když určíme polohu bodu C na této přímce
Příklad 2: V rovině jsou dány dva pevné body A a B. Určete množinu všech bodů X této roviny, pro které platí |AX|/|BX|=k, kde k je reálná konstanta. Použijte program GeoGebra, modelujte v něm zadání, pokuste se vykreslit příslušnou křivku a určit její rovnici. [Řešení v GeoGebře] Domácí úkol č. 2: Na volný papír narýsujte trojúhelník ABC, sestrojte jeho výšky a jejich průsečík označte O (ortocentrum). Potom postupně zobrazte bod O v osových souměrostech s osami AB, BC a CA. Vyslovte hypotézu o polohách těchto bodů. Řešení úkolu vyfoťte nebo oskenujte a vložte do skupiny PLA 2020. |
PŘEDNÁŠKA 3
Afinní transformace roviny - Afinita. [Afinní transformace roviny: "Úprava" fotografie] Příklad 1: V programu GeoGebra sestrojte přímku danou body A a B a libovolně na ní umístěte bod C. Potom tažením myší měňte polohy bodů A, B a sledujte chování bodu C. Co pro něj platí? Své tvrzení podložte výpočtem provedeným v programu. Příklad 2: Pro body A, B, C platí (ABC)=λ. Zapište pomocí λ dělicí poměr (CBA). Domácí úkol č. 2: (Pokračování příkladu 2.) Pro body A, B, C platí (ABC)=λ. Zapište pomocí λ dělicí poměry (BAC), (ACB), (CAB) a (BCA). Domácí úkol č. 3: Pomocí appletu "Úprava" fotografie zapište maticové rovnice následujících zobrazení: (i) osová souměrnost podle osy y, (ii) středová souměrnost podle počátku, (iii) středová souměrnost se středem v bodě [0,5]. Prémiový úkol č. 3: Úhlopříčka AC čtverce ABCD je rozdělena na tři části dvěma příčkami, které spojují vrchol D se středy E a F stran AB a BC, viz obrázek. Rozhodněte, zda jsou uvedené tři části úhlopříčky AC stejně dlouhé. Pravdivost svého tvrzení dokažte! |
CVIČENÍ 3 (Osová souměrnost)
Vztah mezi velikostí obvodového a středového úhlu: Velikost obvodového úhlu příslušejícího oblouku AB je rovna polovině velikosti středového úhlu příslušejícího témuž oblouku. [GeoGebra aplet] Tětivový čtyřúhelník: Čtyřúhelník vepsaný do kružnice, součet jeho protilehlých úhlů je 180° (viz Wikipedia: Cyclic quadrilateral). |
PŘEDNÁŠKA 4
Afinní transformace roviny - Afinita. [Afinní transformace roviny: "Úprava" fotografie] Prémiový úkol č. 4: Jaký je vzah mezi velikostmi úhlů α a β? Své tvrzení dokažte! |
CVIČENÍ 4 (Osová souměrnost)
Příklad 1: Je dána přímka p a body A, B v téže polorovině s hraniční přímkou p. Najděte všechny body X ∈ p takové, že součet vzdáleností |AX|+|BX| je minimální. (Tato úloha je známa jako Heronův problém; Hérón Alexandrijský, přibl. 10-70 n.l.)
Vivianiho věta: Součet vzdáleností libovolného bodu v rovnostranném trojúhelníku od jeho stran je roven výšce tohoto trojúhelníku. |
5. týden / 16.-22. 3. / Samostudium: Shodná zobrazení v rovině
Zde je zadání samostatné práce pro 5. týden: Prostudujte prosím následující text "Shodná zobrazení v rovině - analytické vyjádření, samodružné body a směry" (navazuje na texty zveřejněné výše) a co nejlépe vyřešte Příklady 5.1 až 5.9, které jsou v textu uvedeny. K zaznamenání Vašeho postupu při jejich řešení použijte prostředky dle vlastní úvahy, papír a tužku, GeoGebru a textový editor nebo jakýkoliv jiný vhodný software. Řešení zatím nikam neposílejte. V dohledné době bych rád spustil naší komunikaci prostřednictvím aplikace Microsoft Teams (https://helpdesk.jcu.cz). Budu Vás o všem informovat. V případě dotazů k obsahu výše uvedeného textu a k postupu řešení příkladů použijte v mezičase e-mail. Prémiový úkol č. 5: Jsou dány body X, Y a S, viz obrázek. Sestrojte čtverec ABCD tak, aby bod X ležel na přímce AB, bod Y na přímce BC a bod S byl středem čtverce. Prémiový úkol č. 5 - Řešení: Postupujeme dle obrázku. Nejprve zobrazíme bod Y v otočení se středem S o úhel -90°. Výsledný bod Y', spolu s X potom zobrazíme ve středové souměrnosti se středem S. Dostaneme body Y'' a X'. Pak už máme dost bodů, abychom sestrojili celý čtverec. Upozorňuji, že toto není jediný postup. Například ti, kteří poslali svá řešení, používali různé jiné postupy, vždy však založené na principu zobrazení jedné strany čtverce na jeho jinou stranu, sousední nebo protilehlou. |
6. týden / 23.-27. 3. / Samostudium: Výpočet samodružných bodů a směrů shodností v rovině
Především Vás informuji, že jsem podstatně rozšířil text z minulého týdne, přidal jsem řešení nebo návody k řešení u vybraných příkladů. Zde je nová, rozšířená, verze textu:"Shodná zobrazení v rovině - analytické vyjádření, samodružné body a směry (rozšířená verze)". Stále platí, že máte řešit příklady z tohoto textu: 5.1 až 5.4 kompletně; 5.5 dokončit, co jem neudělal já; 5.6, 5.7 a 5.9 kompletně; 5.8 jsem udělal já. Zde je zadání samostatné práce pro 6. týden: Prostudujte prosím následující text "Shodná zobrazení v rovině - výpočet samodružných bodů a směrů" a co nejlépe vyřešte Příklad 5.10. K zaznamenání Vašeho postupu při jejich řešení použijte prostředky dle vlastní úvahy, papír a tužku, GeoGebru a textový editor nebo jakýkoliv jiný vhodný software. Řešení pošlete v rámci týmu v aplikaci Teams. V případě dotazů použijte prostředí Teams nebo e-mail. Užitečné odkazy:
Prémiový úkol č. 6: Ze čtverce byl vystřižen kříž tvořící síť krychle, viz obrázek. Určete procento odpadu! Prémiový úkol č. 6 - Řešení: |
7. týden / 30. 3.-3. 4. / Samostudium: Symetrie. Osová souměrnost.
Zde je zadání samostatné práce pro 7. týden: Prostudujte prosím následující text "Shodná zobrazení v rovině - Symetrie. Osová souměrnost." a co nejlépe vyřešte příklady a cvičení vysazené modrou barvou. K zaznamenání Vašeho postupu při jejich řešení použijte prostředky dle vlastní úvahy, papír a tužku, GeoGebru a textový editor nebo jakýkoliv jiný vhodný software. Konstrukční úlohy můžete řešit v GeoGebře, vždy však k nim udělejte i rozbor, ručně, tužkou na papír. Řešení pošlete v rámci týmu v aplikaci Teams. V případě nejasností se ptejte, použijte prostředí Teams nebo e-mail. Užitečné odkazy: Prémiový úkol č. 7: Určete délku strany největšího čtverce, který lze vepsat do jednotkové krychle. Jinak řečeno, jaký největší pevný čtverec můžete vložit do krychlové krabice o délce hrany 1 m?
Prémiový úkol č. 7 - Řešení:
|
8. týden / 6. 4.-10. 4. / Samostudium: Středová souměrnost. Otočení.
Zde je zadání samostatné práce pro 8. týden: Prostudujte prosím následující text "Středová souměrnost. Otočení." a co nejlépe vyřešte příklady a cvičení vysazené modrou barvou (Upozorňuji, že text jsem 15. 4. vyměnil! V původním textu jsem při kontrolním čtení objevil závažnou chybu - v pojednání o orientovan0m úhlu jsem prohodil "proti" a "ve" směru pohybu hodinových ručiček, čímž došlo k zásadní změně smyslu celé příslušné věty. Za to se omlouvám!). K zaznamenání Vašeho postupu při jejich řešení použijte prostředky dle vlastní úvahy, papír a tužku, GeoGebru a textový editor nebo jakýkoliv jiný vhodný software. Konstrukční úlohy můžete řešit v GeoGebře, vždy však k nim udělejte i rozbor, ručně, tužkou na papír. Rozbor udělejte, i když nevíte, jak úlohu řešit! Řešení pošlete v rámci týmu v aplikaci Teams. V případě nejasností se ptejte, použijte prostředí Teams nebo e-mail. Užitečné odkazy:
Prémiový úkol č. 8: V trojúhelníku ABC je S průsečíkem os stran (tj. střed kružnice opsané) a O průsečíkem výšek (tj. ortocentrum), viz obrázek. Dokažte, že součet vektorů SA, SB, SC je roven SO, tj. SA+SB+SC=SO.
Prémiový úkol č. 8 - Nápověda:
Prémiový úkol č. 8 - Řešení:
|
9. týden / 13. 4.-17. 4. / Samostudium: Posunutí. Posunuté zrcadlení.
Zde je zadání samostatné práce pro 9. týden: Prostudujte prosím následující text "Posunutí. Posunuté zrcadlení. Identita" a co nejlépe vyřešte příklady a cvičení vysazené modrou barvou. K zaznamenání Vašeho postupu při jejich řešení použijte prostředky dle vlastní úvahy, papír a tužku, GeoGebru a textový editor nebo jakýkoliv jiný vhodný software. Konstrukční úlohy můžete řešit v GeoGebře, vždy však k nim udělejte i rozbor, ručně, tužkou na papír. Rozbor udělejte, i když nevíte, jak úlohu řešit! Řešení pošlete v rámci týmu v aplikaci Teams. V případě nejasností se ptejte, použijte prostředí Teams nebo e-mail. Užitečné odkazy:
Prémiový úkol č. 9: V konvexním čtyřúhelníku ABCD je úhlopříčka BD osou vnitřního úhlu ∠ABC a dále platí |AC|=|BC|. Velikost úhlu ∠BDC je 80° a velikost úhlu ∠ACB je 20°. Určete velikost úhlu ∠BAD!
Prémiový úkol č. 9 - Řešení:
|
10. týden / 20. 4.-24. 4. / Samostudium: Skládání zobrazení. Klasifikace shodností.
Zde je zadání samostatné práce pro 10. týden: Prostudujte prosím následující text "Skládání zobrazení. Klasifikace shodností." a co nejlépe vyřešte příklady a cvičení vysazené modrou barvou. K zaznamenání Vašeho postupu při jejich řešení použijte prostředky dle vlastní úvahy, papír a tužku, GeoGebru a textový editor nebo jakýkoliv jiný vhodný software. Konstrukční úlohy můžete řešit v GeoGebře, vždy však k nim udělejte i rozbor, ručně, tužkou na papír. Rozbor udělejte, i když nevíte, jak úlohu řešit! Řešení pošlete v rámci týmu v aplikaci Teams. V případě nejasností se ptejte, použijte prostředí Teams nebo e-mail. Užitečné odkazy: Prémiový úkol č. 10: Ve čtyřúhelníku ABCD jsou úhlopříčkami AC a BD a jim protilehlými vrcholy tvořeny čtyři trojúhelníky ACD, DBC, CAB a BDA. Dokažte, že strany čtyřúhelníku EFGH, kde E, F, G a H jsou v daném pořadí těžiště uvedených trojúhelníků, jsou rovnoběžné se stranami čtyřúhelníku ABCD a jejich délky jsou třetinami těchto stran.
Prémiový úkol č. 10 - Řešení:
|
11. týden / 27. 4.-1. 5. / Samostudium: Každou shodnost v rovině lze složit z nejvýše tří osových souměrností.
Zde je zadání samostatné práce pro 11. týden: Prostudujte prosím následující text "Tři osové souměrnosti stačí". Jeho obsah využijte k přípravě na zkoušku dle zveřejněných otázek a příkladů. V případě nejasností mne bez váhání kontaktujte.
Prémiový úkol č. 11: V rovině je dán čtverec ABCD. Kružnice k prochází body A, B a dotýká se přímky CD. Označme M průsečík kružnice k a strany BC (různý od B), viz obrázek. Určete poměr |CM|:|MB|.
Prémiový úkol č. 11 - Řešení:
|
12. týden / 4. 5.-8. 5. / Samostudium: Podobná zobrazení.
Zde je zadání samostatné práce pro 12. týden: Prostudujte prosím následující text "Podobná zobrazení". Jeho obsah využijte k přípravě na zkoušku dle zveřejněných otázek a příkladů. V případě nejasností mne bez váhání kontaktujte. Prémiový úkol č. 12: V rovině je dán pravoúhlý trojúhelník ABC takový, že kružnice k(A,|AC|) protíná přeponu AB v jejím středu S. Dokažte, že kružnice opsaná trojúhelníku BCS je shodná s kružnicí k.
Prémiový úkol č. 12 - Řešení:
|
13. týden / 10. 5.-15. 5. / Samostudium: Stejnolehlost.
Zde je zadání samostatné práce pro 13. týden: Prostudujte prosím následující text "Stejnolehlost." Jeho obsah využijte k přípravě na zkoušku dle zveřejněných otázek a příkladů. V případě nejasností mne bez váhání kontaktujte. Použijte prostředí Teams nebo e-mail. Po domluvě je možná osobní konzultace. Prémiový úkol č. 13: Dvě spolu pevně spojená kola o různých poloměrech, větší o poloměru R, menší o poloměru r, se pohybují každé po své dráze, které jsou vzájemně rovnoběžné, viz obrázek. Větší kolo urazí dráhu 2πR, menší potom 2πr. Z obrázku je zřejmé, že 2πR = 2πr, tj. R = r, což ale neplatí. Kde je chyba?
Prémiový úkol č. 13 - Řešení:
|
14. týden / 18. 5.-22. 5. / Samostudium: Mocnost bodu ke kružnici.
Zde je zadání samostatné práce pro 14. týden: Prostudujte prosím následující text "Mocnost bodu ke kružnici." Jeho obsah využijte k přípravě na zkoušku dle zveřejněných otázek a příkladů. V případě nejasností mne bez váhání kontaktujte. Použijte prostředí Teams nebo e-mail. Po domluvě je možná osobní konzultace. Prémiový úkol č. 14: Zadání (pdf) |
CVIČENÍ 5 (Shodnost. Osová souměrnost.)
Příklad 1: Rozhodněte, zda afinity dané uvedenými rovnicemi jsou shodnosti.
Pokud ano, určete jaké (Využijte při tom samodružné body a směry těchto afinit).
Fermatův bod: Bod, pro který je součet jeho vzdáleností od vrcholů trojúhelníku minimální. Domácí úkol 2: Řešte Příklad 1 c. |
PŘEDNÁŠKA 6 |
CVIČENÍ 7 (Osová souměrnost)
Osová souměrnost - úlohy k řešení.
Fagnanův problém: Danému ostroúhlému trojúhelníku vepište trojúhelník o nejmenším obvodu. |
PŘEDNÁŠKA 7 |
CVIČENÍ 8
Příklad (Mascheroniova konstrukce):
Je dána kružnice k(S;r); dále je dána dvěma body A, B (body neleží na kružnici) její sečna p, která neprochází středem S.
Sestrojte průsečíky přímky p s kružnicí k, aniž přitom použijete pravítka.
(Lorenzo Mascheroni, 1750-1800,
Georg Mohr, 1640-1697,
Mascheroni Construction)
|
PŘEDNÁŠKA 8 |
CVIČENÍ 9
Příklad: Dokažte následující větu: V každém trojúhelníku dělí osa libovolného vnitřního úhlu protější stranu v poměru stran přilehlých. |
PŘEDNÁŠKA 9
Úkol: S využitím uvedených apletů promyslete důkaz tvrzení "Každá shodnost se dá složit z nejvýše tří osových souměrností".
|
CVIČENÍ 10 |
PŘEDNÁŠKA 10
Skládání shodností. Shodnosti přímé a nepřímé. Grupa shodností. |
CVIČENÍ 11
Úlohy na shodnosti v rovině - Vzorové příklady KMA/PLA 2015 |
PŘEDNÁŠKA 11
Klasifikace shodností v rovině.
|
PŘEDNÁŠKA 12
Podobné zobrazení.
|
PŘEDNÁŠKA 13 |
[1] Sekanina, M. a kol.: Geometrie II, SPN, Praha 1988.
[2] Pomykalová, E., Matematika pro gymnázia - Planimetrie. Prometheus, Praha, 2008.
[3] Kuřina, F.: 10 geometrických transformací. Prometheus, Praha, 2002.
[4] Sekanina, M. a kol.: Geometrie I, SPN, Praha 1988.
[5] Leischner, P. Geometrická zobrazení, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2010.
[6] Pech, P., Klasické vs. počítačové metody při řešení úloh v geometrii, České Budějovice, PF JU, 2005.
[7] Kuřina, F.: 10 pohledů na geometrii. Akademie věd České republiky, 1996.
[8] Audin, M.: Geometry, Springer, 2003.
[9] Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983.
[10] Pech, P., Analytická geometrie lineárních útvarů,
České Budějovice, PF JU, 2004.
[11] Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.
[12] Vyšín, J. . a kol.: Geometrie pro pedagogické fakulty II, Bratislava, 1970.
[13] Eukleides, Eukleidovy základy (Elementa), překlad F. Servít, 1907.
Dostupné na https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eukleides_Servit.pdf
[14] Leydold, J., Petry, M. : Introduction to Maxima for Economics (pdf) [online]
[15] Hašek, R., Noruláková, M.: Program wxMaxima ve výuce matematiky (pdf) [online]. Sborník příspěvků 5. konference Užití počítačů ve výuce matematiky, 2011.
www.geogebra.org ... program GeoGebra (zdarma)
wxmaxima-developers.github.io/wxmaxima ... program wxMaxima (zdarma)
i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
www.cut-the-knot.org ... Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
http://www.math.uoc.gr ... Geometrikon - galerie geometrických témat
Aktuální verze otázek a vzorových příkladů:
[Otázky ke zkoušce KMA/PLA 2020]
[Vzorové příklady KMA/PLA 2020]
Návody k řešení vybraných příkladů:
Řešení vzorového příkladu č. 10 (užití mocnosti bodu ke kružnici a pomocné kružnice)
Řešení vzorového příkladu č. 10 (užití mocnosti bodu ke kružnici a Eukleidovy věty o odvěsně)
Řešení vzorového příkladu č. 12 (bod-přímka-kružnice)
Řešení vzorového příkladu č. 13 (bod-přímka-přímka)
Řešení vzorového příkladu č. 14 (kružnice-přímka-přímka)
Roman Hašek, katedra matematiky PF JU, kontakt: hasek@pf.jcu.cz