GEOMETRIE II (KMA/7G2)

Předmět je zaměřen na kuželosečky a kvadratické plochy.

Osnova

• Úvod do předmětu.

  Kuželosečky a kvadratické plochy - představení

  Wikipedia: Conic section - Ellipse - Hyperbola - Parabola

  Wikipedia: Quadric

• Kuželosečky

  GeoGebra: Řez kuželové plochy rovinou

  • Kuželosečky regulární a singulární.
  • Vybrané kvadratické plachy a jejich zobrazení v programu GeoGebra (kuželová plocha, válcová plocha, rotační paraboloid, rotační hyperboloid, ...)

  Kružnice

  • Definice: Množina bodů v rovině, jejichž vzdáleností daného bods S je konstantní.
  • Rovnice kružnice (středová, parametrická, polární)

  Elipsa

  • Definice: Množina bodů v rovině, jejichž součet vzdáleností od dvou daných bodů F₁ a F₂ je konstantní.
  • Rovnice elipsy (kanonická, středová), viz [1] (Kuželosečky), str. 8-10
  • Zahradnická konstrukce elipsy
  • Další úlohy na elipsu jako množinu bodů daných vlastností
    • Kočka na žebříku
      • Proužková konstrukce elipsy - součtová a rozdílová

    • ÚKOL:  Je dána kružnice k se středem S a uvnitř ní bod M. Určete množinu středů kružnic procházejících bodem M a dotýkajících se kružnice k.

      GeoGebra: Odvalující se kružnice - Řešení

  Hyperbola

  • Definice: Množina bodů v rovině, pro které je absolutní hodnota rozdílu jejich vzdáleností od dvou daných bodů F₁ a F₂ konstantní.
  • Rovnice hyperboly (kanonická, středová), viz [1] (Kuželosečky), str. 28-29
  • Parametrické rovnice hyperboly; hyperbolický sinus a kosinus, řetězovka,
    viz https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbola, https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary
  • Nepřímá úměrnost. Grafem funkce nepřímá úměrnost je rovnoosá hyperbola s asymptotami v souřadnicových osách.

    ÚKOL: Napište v kanonickém tvaru rovnici hyperboly, která je grafem funkce $f:\,y=\dfrac{1}{x}$, tj. pro umístění vůči soustavě souřadné takové, že střed hyperboly je totožný s jejím počátkem a osy hyperboly leží v souřadnicových osách $x$, $y$.

  Parabola

  • Definice: Množina bodů v rovině, které mají od daného bodu F a dané přímky p stejnou vzdálenost. Bod F nazýváme ohniskem paraboly, přímku d pak její řídící přímkou.
  • Rovnice hyperboly (kanonická, vrcholová), viz [1] (Kuželosečky), str. 45-46

  Úlohy k procvičení

  Řešte úlohy 5.23, 5.27, 5.29, 5.30, 5.41, 5.42, 5.51, 5.52 a 5.53 z [3], viz Kuzelosecky_Cv_1.pdf, Kuzelosecky_Cv_2.pdf , Kuzelosecky_Cv_3.pdf.

  Oskulační kružnice kuželosečky

  Oskulační kružnicí rozumíme kružnici, která se dotýká uvažované křivky v bodě, v němž s ní má společnou tečnu a ze všech takových kružnic se ke křivce nejvíce přimyká.

  

  Poloměr R oskulační kružnice v konkrétním bodě křivky nazýváme poloměrem křivosti v tomto bodě. Převrácenou hodnotou tohoto poloměru je potom křivost křivky v daném bodě, značíme ji k.

  Oskulační kružnice ve vrcholech elipsy jsou výjmečné tím, že mají s elipsou společný právě jeden bod, onen vrchol. Proto se jim často říká hyperoskulační kružnice, případně superoskulační kružnice.

  Konstrukce středů oskulačních kružnic regulárních kuželoseček
      GeoGebra applety: [elipsa] [hyperbola] [elipsa] / [Výpočet souřadnic středu oskulační kružnice elipsy]

• Konstrukce kuželoseček

  Zahradnická konstrukce elipsy

  [1] (Kuželosečky) (str. 12)

  Trojúhelníková a proužková konstrukce kuželosečky

  [1] (Kuželosečky) (str. 13-15)

  Bodová konstrukce kuželosečky

  [1] (Kuželosečky): elipsa (str. 10), hyperbola (str. 31), parabola (str. 46) / GeoGebra applety: [elipsa] [hyperbola] [parabola]

  
  

  Tečna kuželosečky (kružnice, elipsy, hyperboly, paraboly)

  • Tečna kuželosečky daného směru

    Příklad: Napište rovnice tečen kružnice $x^{2}+y^{2}-16=0$ rovnoběžných s přímkou $y=3x$.

  • Tečna kuželosečky v bodě dotyku T[m, n]

    GeoGebra applet: [Tečna kuželosečky v daném bodě]

  • Tečna kuželosečky z bodu P[m, n]

    Příklad: Určete body dotyku tečen vedených bodem $P[0; 0]$ ke kružnici s rovnicí $x^{2}+y^{2}+10x+10y+49=0$.

  Příklady k řešení

  Příklady 1-11

  Domácí úkol:  [1] (Kuželosečky): Str. 25/Cvičení 6, 7, 8.

  
  

  Polára p bodu P vzhledem ke kuželosečce

  Polárou bodu P vzhledem ke kuželosečce rozumíme přímku p. Bod P nazýváme pólem. Pro vnější body je to přímka spojující body dotyku tečen vedených z tohoto bodu ke kuželosečce.

  
  • GeoGebra applet: [Pól a polára vzhledem ke kuželosečce]

  Konstrukci poláry vzhledem k vnitřnímu bodu pak napomůže následující věta.

  Věta: Nechť p je polára bodu P a q je polára bodu Q. Pokud Q leží na p, potom q prochází bodem P.

  • Úkol: Sestrojte poláru m bodu M ležícího uvnitř kružnice k.



• Ohniskové vlastnosti kuželoseček

  • Elipsa

    ÚKOL: Shlédněte video Lithotripsy (litotripse) a interpretujte ho s důrazem na příslušnou vlastnost elipsy.

    Věta: Tečna elipsy půlí vnější úhly průvodičů bodu dotyku.

     
    GeoGebra

    Důkaz: Pech, P. Kuželosečky, str. 20.

    GeoGebra: Naznačení důkazu pomocí zákona odrazu

    Aplikace: Whispering gallery, Feynman's lost lecture, Pech, P. Kuželosečky, Příklad na str. 23-24.

    Věta: (Řídící kružnice elipsy) Množina všech bodů souměrně sdružených s jedním ohniskem elipsy podle jejích tečen je kružnice se středem v druhém ohnisku a o poloměru rovném velikosti hlavní osy elipsy (tj. 2a).

    Poznámka: Řídící kružnice jsou dvě, se středy v obou ohniscích elipsy.

    Věta: (Vrcholová kružnice elipsy) Množina všech pat kolmic spuštěných z ohnisek elipsy na její tečny je kružnice opsaná kolem středu elipsy s poloměrem rovným délce hlavní polosy (tj. a).

    Příklady k řešení

    ÚKOL 1 (Ohniskové vlastnosti elipsy).pdf ; {Řešení: Příklad 1, Příklad 2, Příklad 3, Příklad 4}

  • Hyperbola

    Věta: Tečna hyperboly půlí vnější úhly průvodičů bodu dotyku.

     
    GeoGebra
    

    GeoGebra applet: Ilustrace odrazem od tečny hyperboly

    Důkaz: Pech, P. Kuželosečky, str. 35.

    Věta: (Řídící kružnice hyperboly) Množina bodů souměrných s jedním ohniskem hyperboly podle všech jejích tečen leží na kružnici se středem v druhém ohnisku a s poloměrem rovným velikosti hlavní osy hyperboly (tj. 2a). Tuto kružnici nazýváme řídící kružnicí hyperboly.

    Poznámka 1: Hyperbola má dvě řídící kružnice, se středy v obou jejích ohniscích, viz níže uvedený obrázek (a dynamický applet), kružnice $g_{1}(F_{1}, 2a)$, $g_{2}(F_{2}, 2a)$.

    Poznámka 2: Množina bodů uvedené vlastnosti není s řídící kružnicí identická. Na každé z řídících kružnic totiž existují dva body, které nemohou být obrazem příslušného ohniska v osové souměrnosti podle žádné z tečen hyperboly, viz obrázek (a jemu příslušný applet), body $Q_{1}, Q_{2}$ na $g_{2}$ a $Q_{3}, Q_{4}$ na $g_{1}$. Dokážete vysvětlit, jak tyto body určíme?

    Věta: (Vrcholová kružnice hyperboly) Množina pat kolmic spuštěných z ohnisek hyperboly na všechny její tečny lrží na kružnici opsané kolem středu hyperboly s poloměrem rovným délce hlavní polosy (tj. a). Tuto kružnici nazýváme vrcholovou kružnicí hyperboly (prochází vrcholy hyperboly), viz kružnice $v(S, a)$ na obrázku.

    Poznámka: Ani tato kružnice není s příslušnou množinou bodů dané vlastnosti identická. I na ní leží body, které nemohou být patami žádných kolmic spuštěných z ohnisek na tečny hyperboly, viz body $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ na obrázku níže (a v příslušném appletu). Dokážete vysvětlit, jak tyto body určíme?

     
    GeoGebra

    Důkaz: Pech, P. Kuželosečky, str. 37-39.

  • Parabola

    Věta: Tečna paraboly půlí vnější úhly průvodičů bodu dotyku (jedním z průvodičů je přímka určená bodem dotyku a ohniskem, druhým pak je kolmice spuštěná z bodu dotyku na řídící přímku).

     
    
    GeoGebra
    

    Důkaz: Pech, P. Kuželosečky, str. 50.

    Praxe viz např. Novinky.cz: Za požár v domě mohlo kosmetické zrcátko.

    GeoGebra applet: Ilustrace odrazem od tečny paraboly

    Věta: (Řídící přímka paraboly) Množina bodů souměrných s ohniskem paraboly podle všech jejích tečen je řídící přímka $d$.

    Věta: (Vrcholová tečne paraboly) Množina pat kolmic spuštěných z ohniska paraboly na všechny její tečny je vrcholová tečna $v$.

    Důkaz: Pech, P. Kuželosečky, str. 52.

    Příklady k řešení

    ÚKOL 2 (Ohniskové vlastnosti paraboly).pdf; {Řešení: Příklad 1, Příklad 2}
    
    Poznámka: Při řešení druhého příkladu využijte druhou z vět uvedených na str. 53 skript Pech, P. Kuželosečky.

• Quételetova-Dandelinova věta

  Quételetova-Dandelinova věta pro válcovou plochu: Řez rotační válcové plochy rovinou, která je kosá k ose plochy, je elipsa. Jejími ohnisky jsou dotykové body kulových ploch, které jsou válcové ploše vepsány a dotýkají se roviny řezu. Délka její vedlejší poloosy se rovná poloměru válcové plochy ([1], str. 187).

             
  Quételetova-Dandelinova věta pro válcovou plochu a její důkaz

  Quételetova-Dandelinova věta pro kuželovou plochu: Rovina, která naní vrcholová, ani není kolmá k ose a která s rovinou povrchové kružnice rotační kuželové plochy svírá úhel menší než povrchové přímky plochy, protíná rotační kuželovou plochu v elipse. Jejími ohnisky jsou dotykové body kulových ploch, které jsou vepsány kuželové ploše a dotýkají se roviny řezu ([1], str. 208).

             
  Quételetova-Dandelinova věta pro kuželovou plochu a její důkaz

• Řídící přímka kuželosečky

  Každou regulární kuželosečku s výjimkou kružnice lze vytvořit jako množinu bodů v rovině, které mají od daného bodu F této roviny a od dané přímky d této roviny, přičemž F neleží na d, stálý poměr vzdáleností rovný kladnému číslu ε. Přímka d je řídící přímka kuželosečky, F je její ohnisko. Číslo ε je číselná výstřednost (numerická excentricita) kuželosečky. Pro ε rovno 1 je vzniklá kuželosečka parabola, pro ε větší než 1 hyperbola a pro ε menší než 1 elipsa.

  Pro elipsu a hyperbolu platí: $\epsilon = \dfrac{e}{a}.$

     
  GeoGebra applet: [Kuželosečka daná řídící přímkou a ohniskem]

• Kuželosečka jako algebraická křivka 2. stupně

    Pech, P. Kuželosečky, str. 75-

• Kanonický tvar rovnice kuželosečky pomocí otočení.

  wxMaxima: Algebraická rovnice kuželosečky / wxMaxima download

  GeoGebra: Uvedení rovnice na kanonický tvar

  Úplná klasifikace kuželoseček

  • eliptický typ
    • elipsa (reálná)
    • imaginární elipsa
    • jediný bod (jako průsečík dvojice imaginárních přímek)
  • hyperbolický typ
    • hyperbola
    • dvojice různoběžek
  • parabolický typ
    • parabola
    • rovnoběky různé
    • rovnoběky splývající
    • rovnoběky imaginární
  Viz Pech, P. Kuželosečky, Věta na str. 82.

  GeoGebra: Klasifikace kuželoseček

• Asymptotický směr kuželosečky

   

  GeoGebra: Středový průmět rovnoběžek (různoběžek)

  GeoGebra: Středový průmět kružnice - asymptotické směry

  Přímka vs. kuželosečka

  Detailní rozbor viz Pech, P. Kuželosečky, str. 90-94.

  GeoGebra: Vzájemná poloha přímky a kuželosečky (hyperboly)

  GeoGebra: Vzájemná poloha přímky a kuželosečky - obecně

  Viz Pech, P. Kuželosečky, Věta na str. 93.

  ÚKOL: Řešte cvičení 5 b na str. 100 v Pech, P. Kuželosečky.

• Střed kuželosečky

  Detailní rozbor viz Pech, P. Kuželosečky, str. 94-99.

  Kuželosečky středové a nestředové.

  ÚKOL: Určete střed kuželosečky z cvičení 5 b na str. 100 v Pech, P. Kuželosečky. Určete rovnice asymptoto této kuželosečky.

• Tečna a polára kuželosečky. Sdružené průměry.

  Tečna v bodě kuželosečky

  ÚKOL: Řešte cvičení 5 na str. 121 v Pech, P. Kuželosečky.

  Viz Pech, P. Kuželosečky, str. 113-116.

  Polára. Tečna z bodu ke kuželosečce

  ÚKOL: Řešte cvičení 8 na str. 121 v Pech, P. Kuželosečky.

  Viz Pech, P. Kuželosečky, str. 116-120.

  Sdružené průměry kuželosečky

  GeoGebra: Sdružené průměry elipsy / GeoGebra: Sdružené průměry hyperboly / GeoGebra: Sdružené průměry paraboly

  ÚKOL: Řešte cvičení 2 na str. 127 v Pech, P. Kuželosečky.

  Viz Pech, P. Kuželosečky, str. 122-127.

• Hlavní směry kuželosečky. Charakteristická rovnice.

  ÚKOL: Řešte cvičení 7 b, c na str. 134 v Pech, P. Kuželosečky.

  Viz Pech, P. Kuželosečky, str. 129-134.

• Singulární kuželosečky.

  Singulární kuželosečky jako řezy kuželové/válcové plochy rovinou

  GeoGebra: Bod / GeoGebra: Dvě různoběžky / GeoGebra: Přímka / GeoGebra: Dvě rovnoběžky

  Singulární bod křivky

  GeoGebra: Kardioida / GeoGebra: Preclíková křivka

  Singulární kuželosečka

   
  GeoGebra CAS

  Singulární bod leží na kuželosečce a zároveň je jejím středem.

  Pokud kuželosečka obsahuje kromě středu ještě nějaký další bod, je její součástí přímka.

  Kuželosečka je singulární, jestliže platí $$\Delta=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array}\right|=0.$$ Pokud je $\Delta\neq{0}$, je kuželosečka regulární.
  Hodnota $\Delta$ nás tak informuje o tom, zda je kuželosečka regulární nebo singulární, hodnota $\delta$ pak o tom, jakého je typu, tj. zda se jedná o kuželosečku eliptického, hyperbolického nebo parabolického typu.

  ÚKOL: Řešte cvičení 11 c, d na str. 112 v Pech, P. Kuželosečky.

• Kvadriky

  Kvadrika, též kvadratická plocha či plocha druhého stupně je přesně definována a na příkladech představena v Hašek, R., Pech, P. Kvadratické plochy a jejich reprezentace v programu Maple na str. 9-13.

  Elipsoid

  Hašek, R., Pech, P. Kvadratické plochy a jejich reprezentace v programu Maple na str. 67-71.

  GeoGebra: Elipsoid

  Hyperboloid

  Hašek, R., Pech, P. Kvadratické plochy a jejich reprezentace v programu Maple na str. 71-81.

  GeoGebra: Hyperboloid

  Paraboloid

  Hašek, R., Pech, P. Kvadratické plochy a jejich reprezentace v programu Maple na str. 82-91.

  GeoGebra: Paraboloid

  Válcová plocha

  Hašek, R., Pech, P. Kvadratické plochy a jejich reprezentace v programu Maple na str. 92-95.

  GeoGebra: Válcová plocha

  Kuželová plocha

  Hašek, R., Pech, P. Kvadratické plochy a jejich reprezentace v programu Maple na str. 95-99.

  GeoGebra: Kuželová plocha

• Elipsa jako afinní útvar ke kružnici

  

  GeoGebra: Trojúhelníková konstrukce elipsy

  GeoGebra: Souvislost proužkové konstrukce s trojúhelníkovou

  GeoGebra: Postup Rytzovy konstrukce

Literatura

[1]  Pech, P. (2004) Kuželosečky.
[2]  Hašek, R., Pech, P. (2010) Kvadratické plochy a jejich reprezentace v programu Maple.
[3]  Boček, L., Kočandrle, M. (2009) Analytická geometrie (Matematika pro gymnázia). Prometheus, Praha.
[4]  Voráčová a kol. (2012) Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha.
[5]  Budinský, B. (1983) Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha.
[6]  Kuřina, F. (1996) 10 pohledů na geometrii. Praha: Akademie věd České republiky.
[7]  Polák, J. (2015) Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus. [8]  Sekanina, M. a kol. (1988) Geometrie II, SPN, Praha.

Internetové odkazy

Software ke stažení

www.geogebra.org ... bezplatně dostupný program GeoGebra
wxmaxima.sourceforge.net ... bezplatně dostupný CAS program wxMaxima

Materiály pro výuku a sebevzdělávání

www.khanacademy.org/math ... Khan academy

Zkouška

Zkouška bude mít dvě části, písemnou a ústní.
V písemné části budou řešeny dva příklady vybrané z: {[1]; str. 89/2; str. 112/11; str. 121/4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12; str. 134/7; str. 141/1}.
Ústní část pak bude spočívat v zodpovězení jedné otázky vylosované z 7G2: otázky ke zkoušce.