DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE I - KMA/DG1

Deskriptivní geometrie se věnuje zkoumání geometrických vztahů trojrozměrných objektů prostřednictvím jejich dvojrozměrného znázornění.
Její studium nám tak zprostředkovává poznání a pochopení stereometrických vztahů, učí nás, jak správně interpretovat dvojrozměrné pohledy na tyto vztahy a také významně kultivuje naši schopnost prostorové vztahy graficky vyjádřit způsobem každému srozumitelným.

V předmětu Deskriptivní geometrie I byste se měli naučit správně chápat vztahy mezi prostorovými útvary, tyto vztahy vhodně zvoleným způsobem znázorňovat a nebo naopak, takováto znázornění zpětně správně interpretovat. Získáte tak schopnost komunikovat se svým okolím o trojrozměrných objektech a jejich vztazích.

Osnova předmětu

• Úvod do deskriptivní geometrie.
  
  
  PŘEDNÁŠKA 1
  Úvod do deskriptivní geometrie.
  
• Eukleidovský trojrozměrný prostor. Souřadnice bodu. Promítání. Tři základní průměty.
  
  
  PŘEDNÁŠKA 2
  Středové promítání.   -   Středová kolineace.    /    Rovnoběžné promítání.   -   Osová afinita.
  

  ÚKOL:  Osová afinita v rovině je dána osou o a dvojicí bodů A, A'. Sestrojte obraz daného trojúhelníku KLM.

• Volné rovnoběžné promítání.
  

  Cvičení 
  ÚKOL:  Sestrojte řez kvádru ABCDA'B'C'D' rovinou MNP; M je vnitřní bod hrany CC', pro který platí 4|CM|=|CC'|, N je střed hrany A'D' a bod P leží na prodloužení hrany B'B za bod B a platí 3|BP|=|BB'|.
  (J. Polák: Přehled středoškolské matematiky, str. 481, Zadání v Cabri 3D)

  
  Řešení v Cabri 3D
• Zobrazování prostorových útvarů. Přehled základních promítacích metod: Kótované promítání. Mongeovo promítání.
  
• Přehled základních promítacích metod: Kosoúhlé promítání. Axonometrie. Volné rovnoběžné promítání.
  
  
  PŘEDNÁŠKA 3
  Vybrané metody promítání.
  
  ÚKOL: V axonometrii, která je zadána axonometrickým trojúhelníkem XYZ o stranách x=5, y=4 a z=5 sestrojte axonometrický průmět krychle o hraně 4. [Animace řešení (GeoGebra)]
  
  ÚKOL: V axonometrii, která je zadána axonometrickým trojúhelníkem XYZ o stranách x=5, y=4 a z=4 sestrojte axonometrický průmět bodu A=[2,3,5].

  Cvičení 
  ÚKOL:  V maturitním testu MAMVD12C0T01 z matematiky vyšší obtížnosti, který byl zadáván na jaře r. 2012, je uveden tento příklad: Středy stěn krychle s hranou a tvoří vrcholy pravidelného osmistěnu ABCDEF. Vyjádřete délku lomené čáry ABCDEF v závislosti na veličině a. Vypočtěte, jakou část objemu krychle vyplní osmistěn, a výsledek vyjádřete zlomkem. Vaším úkolem je, kromě vyřešení příkladu, zobrazit jeho zadání a uvedenou lomenou čáru pomocí programu Cabri 3D.
  

  
  Řešení v Cabri 3D
  ÚKOL (domácí):  Zobrazte kvádr o rozměrech 3, 4 a 5 cm prostřednictvím těchto zobrazovacích metod:
  a) Volné rovnoběžné promítání.
  b) Kosoúhlé promítání (ω = 150°, 3/4).
  c) Kavalírní perspektiva (ω = 135°).
  d) Vojenská perspektiva (ω = 135°).
  (Dle vlastního uvážení zvolte pravotočivou nebo levotočivou soustavu souřadnic. Rýsujte!)

• Rekonstrukce prostorového objektu ze základních průmětů.
  
• Kótované promítání. Zobrazení bodu, přímky a roviny. Vybrané polohové úlohy.
  
  PŘEDNÁŠKA 4
  Kótované promítání: Zobrazení bodu, přímky a úsečky.
  
  PŘEDNÁŠKA 5
  PŘÍKLAD:  Určete délku úsečky AB; A[-4;2;5], B[2;-2;1].
  [Animace řešení, varianta 1 (GeoGebra), Animace řešení, varianta 2 (GeoGebra)]
  
  ÚKOL: V kótovaném promítání jsou dány průměty bodů A, B; |A₁B₁| = 7 cm, zA=5, zB=2. Určete:
  a) Stopník přímky AB.
  b) Odchylku α přímky AB od průmětny.
  c) Skutečnou velikost úsečky AB.
  d) Vystupňujte přímku AB.
  [Zadání v PDF]
  
  Kótované promítání: Zobrazení bodu, přímky a úsečky.
  
  Řešení úkolu na určení vzájemné polohy dvou přímek:
  [Animace / varianta 1 , Animace / varianta 2]
  
  
• Kótované promítání. Vybrané polohové úlohy. Aplikace.
  
  Zobrazení roviny.
  
  ÚKOL: Určete stopu a hlavní přímky roviny ρ=ABC; A=[2,5;3,5;1,5], B=[7;2,5;0,8], C=[5;6,5;4]. Sestrojte odchylku roviny ρ od průmětny.
  
  PŘEDNÁŠKA 6
  
  • Určení velikosti úhlu ACB (zobrazení trojúhelníku ABC ve skutečné velikosti): Animace.
    
  • Zobrazení čtverce ABCD ve skutečné velikosti: Animace.
  • ÚKOL:  V rovině ρ(6;7;4,5) zobrazte čtverec ABCD s úhlopříčkou AC, A[4;1;?], C[2;3;?]. [3]
  • Průsečnice dvou rovin
    ÚKOL:  Sestrojte průsečnici rovin α=(5,5,5), β=(-6,4,2).  Animace.
  
  PŘEDNÁŠKA 7
  
  • Vzájemná poloha přímky a roviny.
    
  • Průsečík přímky s rovinou
    ÚKOL:  Zobrazte průsečík přímky a=AB s rovinou ρ, která je dána spádovou přímkou s=LM; A=[2;2;1], B=[-5;2;4], L=[-3;4;0], M=[3;1;5].  Animace.
  • ÚKOL: Zobrazte průsečík přímky a s rovinou ρ:
    1. a = AB; A = [1;2;-2], B = [1;2;3], ρ = (-5;6;3).
    2. a = PA; P = [-4;0,5;0], A = [3;2;6], ρ = (3;4;∞).
    3. a = AB; A = [4;1;5], B = [-2;5;-1], ρ = (∞;∞;3).
    4. a = PA; P = [0;4;0], A = [1,5;0;8], ρ = (5;7;4) [Animace].
  
  PŘEDNÁŠKA 8
  Řešení střechy:  [Střecha 1 (Animace).] [Střecha 2 (Animace).]
  
  Kótované promítání - Úlohy na procvičení. [Úloha 1 - Animace]
  
  Dva stereometrické problémy.
  
• Mongeovo promítání. Zobrazení bodu, přímky a roviny.
  
  PŘEDNÁŠKA 9
  Úvod do Mongeova promítání.
  
  • Zobrazení bodu, přímky a roviny.
    Hlavní přímky roviny (dané dvěma rovnoběžkami): Animace.
• Mongeovo promítání. Polohové úlohy.
  
• Mongeovo promítání. Polohové a metrické úlohy.
  
• Mongeovo promítání. Metrické úlohy. Zobrazení kružnice.
  
  PŘEDNÁŠKA 10
  Mongeovo promítání II (metrické úlohy, kružnice).
  
  
  • Vzdálenost bodu od roviny: Sklopením - Animace.   Otočením - Animace.
    
  • Zobrazení kružnice v rovině kolmé na nárysnu: Animace.
    
  • Zobrazení kružnice v obecně dané rovině: Animace.
• Kvádr, hranol, jehlan, kužel. Zobrazení v Mongeově a ve volném promítání. Modelování na počítači (Rhinoceros, Google SketchUp).
  
  PŘEDNÁŠKA 11
  Mnohostěny.
  Mnohostěny. Pravidelné mnohostěny. Zobrazení.
  Úloha 1: Spojnice středů protějších hran čtyřstěnu (Konstrukce v GG)
  Úloha 2: Těžiště čtyřstěnu (Konstrukce v GG)
  Eulerova formule: On-line ověření.   Wikipedia: Euler characteristic.
  Platónská tělesa: Wikipedia: Platonic solid.
• Mnohostěny. Pravidelné mnohostěny. Zobrazení. Modelování na počítači (Rhinoceros, Google SketchUp).
  
  
  PŘEDNÁŠKA 12
  Pravidelné mnohostěny.
  
• Aplikační úlohy. Počítačové modelování.
  
• Shrnutí.
  

Literatura

[1]  Drábek, K., Harant, F., Setzer, O.:. Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1978.
[2]  Kargerová, M., Deskriptivní geometrie- pro technické školy vysoké, vyšší a střední. Montanex, Praha, 2007.
[3]  Pomykalová, E., Deskriptivní geometrie pro střední školy. Prometheus, Praha, 2010.
[4]  Urban, A.:. Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1982.
[5]  Doležal, J.:. Základy geometrie a Geometrie, VŠB-TU Ostrava, on-line učebnice
      [http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html].
[6]  Pomykalová, E., Matematika pro gymnázia - Stereometrie. Prometheus, Praha, 1995.
[7]  Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.
[8]  Vrba, A.: Cabri 3D v2 Příručka pro uživatele.
      Online: http://www.pf.jcu.cz/cabri/cabri3d/download/Cabri_3D_prirucka.pdf

Internetové odkazy

Software ke stažení

sketchup.google.com ... aplikace Google SketchUp (možnost bezplatného stažení)
www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)
www.rhino3d.com ... 3D modelovací program Rhinoceros
dg.vidivici.cz ... Program Deskriptivní geometrie

Materiály pro výuku a sebevzdělávání

i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
http://www.korthalsaltes.com ... Paper models of polyhedra

Požadavky na studenta

• Seminární práce.
  • Rysy.
    V průběhu semestru bude zadáno několik domácích úkolů k narýsování (vybrané z nich je možno po dohodě s vyučujícím rýsovat pomocí vhodného software).
    Zadání domácích úkolů.
  • 3D model.
    Vytvoření 3D modelu nějakého objektu (opět po dohodě s vyučujícím) v programu Google SketchUp nebo v jiném 3D modelovacím programu.
  • Tělesa.
    Vytvoření daného počtu papírových modelů vybraných mnohostěnů.
• Zkouška.
  • Písemná (narýsování zadané konstrukce) a ústní zkouška v rozsahu probíraného učiva.
    Otázky k ústní části zkoušky., Vzorové příklady k písemné části zkoušky.