DVPP: GEOMETRIE 4 - KMA/3G4

Předmět Geometrie IV je věnován především úvodu do projektivní a diferenciální geometrie. Zvláštní pozornost je věnována také inverzi a jejímu použití, hlavně pak rovinné variantě tohoto typu zobrazení, kruhové inverzi.

Přehled učiva:  Stereografická projekce. Kruhová inverze. Užití kruhové inverze. Projektivní geometrie. Homogenní souřadnice. Pappova věta. Duální prostor. Pascalova a Brianchonova věta. Středová kolineace. Křivky v E₃. Tečna křivky, oskulační rovina, Frenetův trojhran. Oblouk křivky. První a druhá křivost, Frenetovy formule. Oskulační kružnice, obalová křivka, evolventa, evoluta.

Kompletní učební text ve formátu PDF: Hašek: GEOMETRIE 4.

Osnova předmětu

• Inverze
  Sterografická projekce. Sférická inverze. Möbiův prostor.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Inverze. Stereografická projekce.
  • KLÍMA, J.: Různé způsoby zobrazovací v deskriptivní geometrii. Kapitola "Gnómonický a stereografický průmět kulové plochy". Praha: JČMF, edice "Cesta k vědění", 1944, str. 18-25
  • Wikipedia: Stereographic projection, Inversive geometry

• Kruhová inverze.
  Kruhová inverze. Užití kruhové inverze.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením:Kruhová inverze.
  • [1]: str. 93-108
  • Wikipedia: Inversive geometry
  • Příklad 1: Je dána přímka p, která protíná danou kružnici k v bodech K, L a je dán bod B, ležící mimo přímku p i kružnici k. Bodem B veďte kružnici, která se dotýká p i k. [Řešení v GeoGebře]
  • Příklad 2: Jsou dány dvě dotýkající se kružnice k₁, k₂ a přímka p. Sestrojte kružnici, která se dotýká kružnic k₁, k₂ a přímky p. [Řešení v GeoGebře]
  • Příklad 3: Sestrojte kružnici procházející danými body A, B a dotýkající se dané kružnice k; body A, B jsou vnější body kružnice k. [Řešení v GeoGebře]

• Projektivně rozšířená rovina. Homogenní souřadnice.
  Projektivně rozšířená rovina. Homogenní souřadnice.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Projektivně rozšířená rovina. Homogenní souřadnice.
  • Dvojpoměr: [2]: str. 30-38
  • Wikipedia: Projective plane, Homogeneous coordinates

• Pappova věta (o projektivní invarianci dvojpoměru). Duální prostor.
  Dvojpoměr. Harmonická čtveřice. Pappova věta o projektivní invarianci dvojpoměru. Duální prostor.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Dvojpoměr. Pappova věta. Princip duality.
  • Wikipedia: Cross ratio, Projective harmonic conjugate

• Pappova věta (o šestiúhelníku).
  Pappova věta o šestiúhelníku.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Pappova věta o šestiúhelníku. Šestiúhelník.
  • Wikipedia: Pappus's hexagon theorem
  • YouTube: Pappus' theorem and the cross ratio

• Pascalova věta.
  Pascalova věta

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Pascalova věta.
  • Wikipedia: Pascal's theorem

• Brianchonova věta.
  Brianchonova věta

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Brianchonova věta.
  • Wikipedia: Brianchon's theorem

• Desarguesova věta.
  Desarguesova věta.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Desarguesova věta.
  • Wikipedia: Brianchon's theorem

• Středová kolineace.
  Středová kolineace.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Středová kolineace.
  • Příklad: Sestrojte kuželosečku, znáte-li tři její body a dvě tečny. [Řešení v GeoGebře]
  • Úvod do středové kolineace a osové afinity (převzato z DG1)
  • Středové promítání / Středová kolineace
  • D. Velichová: Central collineation

• Křivky v E₃.
  Křivky v E₃. Tečna křivky. Oskulační rovina. Oblouk křivky. První a druhá křivost. Frenetův trojhran. Frenetovy formule. Oskulační kružnice.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Křivky v E₃
  • Wikipedia: Curvature, Principal curvature
  • Wikipedia: Frenet–Serret formulas
  • Wikipedia: Osculating circle

• Vybrané rovinné křivky.
  Obalová křivka. Evolventa a evoluta.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Vybrané rovinné křivky
  • Wikipedia: Envelope
  • Francisco Botana & Zoltán Kovács: Teaching loci and envelopes in GeoGebra
  • Wikipedia: Involute, Evolute

Literatura

[1]  LEISCHNER, P.: Geometrická zobrazení, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2010.
[2]  KUŘINA, F.: 10 geometrických transformací, PROMETHEUS, Praha 2002.
[3]  BOČEK, L., SEKANINA, M. a kol.: Geometrie I, SPN, Praha 1988.
[4]  BOČEK, L., SEKANINA, M. a kol.: Geometrie II, SPN, Praha 1988.
[5]  BUDINSKÝ, B.: Analytická a diferenciální geometrie, SNTL, Praha, 1983.
[6]  POMYKALOVÁ, E.: Matematika pro gymnázia: Planimetrie, PROMETHEUS, Praha 2002.
[7]  KUŘINA, F.: 10 pohledů na geomatrii, Akademie věd České republiky, 1996.
[8]  VORÁČOVÁ, Š. a kol.: Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha, 2012.
[9]  PECH, P.: Analytická geometrie lineárních útvarů, České Budějovice, PF JU, 2004.
[10]  HAŠEK, R.: Geometrie 4 (GE4SŽ) - Učební text .

Internetové odkazy

Software ke stažení

www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)

Materiály pro výuku a sebevzdělávání

i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
www.cut-the-knot.org ... Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles

Požadavky na studenta

Otázky ke zkoušce.