GEOMETRIE II - KMA/GEO2 (verze 2018)

Předmět Geometrie II je věnován detailnímu seznámení s afinními zobrazeními - shodnostmi a podobnostmi v rovině a prostoru. Zvláštní pozornost je věnována jejich užití při řešení konstrukčních úloh.

Kompletní učební text ve formátu PDF: Hašek: GEOMETRIE II - KMA/GEO2 (aktualizováno 13. 4. 2018)

Osnova předmětu

• Afinní zobrazení. Afinní transformace prostoru. Rovnice afinity prostoru An, modul afinity, druhy afinit.

PŘEDNÁŠKA 1 Základní pojmy. Geometrické zobrazení. Dělicí poměr. Barycentrické souřadnice.

PŘEDNÁŠKA 2 Afinní zobrazení. Prémiový úkol č. 1: Čtverce ABCD a BFGE mají společný vrchol B, viz obrázek. Dokažte, že přímky AE a CF jsou pro každé takovéto čtverce kolmé. (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky)

PŘEDNÁŠKA 3 Afinita. Modul afinity. [Ilustrace afinní transformace roviny "úpravou" fotografie] Prémiový úkol č. 2: Uvažujme dvě kružnice k, l se společnými body A, B, viz obrázek. Pohybuje-li se bod P po oblouku BA, délka tětivy QR kružnice k je konstantní. Dokažte! (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky)

PŘEDNÁŠKA 4 Osová afinita. Prémiový úkol č. 3: Dokažte, že pro libovolný rovnoběžník ABCD se stranami a, b a úhlopříčkami e, f, viz obrázek, platí e2+f2=2(a2+b2).

• Zobrazení v euklidovském prostoru. Samodružné body a směry.

PŘEDNÁŠKA 5 Samodružné body a směry. Skládání afinních zobrazení. Úkol: S využitím daných apletů promyslete důkaz tvrzení "Každá shodnost se dá složit z nejvýše tří osových souměrností". [GeoGebra: Přímá shodnost] [GeoGebra: Nepřímá shodnost] Prémiový úkol č. 4: Dokažte, že pro trojboký jehlan A, B, C, D, který vznikne "uříznutím" z kvádru dle obrázku, platí S2ABC=S2ABD+S2BCD+S2ACD, kde SABC, SABD, SBCD, SACD jsou obsahy stěn tohoto jehlanu.

Prémiový úkol č. 5: Jsou dány kružnice k, l protínající se v bodech E, F. Tečna kružnice l v bodě E protíná k v bodě G. Zvolme libovolný bod C na oblouku EG, viz obrázek, a sestrojme přímku CE, která protína kružnici l v bodě D. Dokažte, že trojúhelníky DEF a CGF jsou podobné.

• Shodná zobrazení. Analytické vyjádření shodných transformací A2 a A3.
• Skládání afinních zobrazení. Skládání shodností a stejnolehlostí. Mongeova věta.

PŘEDNÁŠKA 6 Shodnosti. Grupa shodností. [GeoGebra: Určenost shodnosti v rovině] Podobnosti. Grupa podobností. Stejnolehlost. Stejnolehlost kružnic. Mongeova věta. Aplety (stejnolehlost): [Skládání stejnolehlostí] [Příklad 12.3 (bod-přímka-kružnice)] [Příklad 12.4 (bod-přímka-přímka)] [Příklad 12.5 (kružnice-přímka-přímka)] [Mongeova věta] [Eulerova přímka a kružnice devíti bodů] Prémiový úkol č. 6: Spojíme-li u libovolného trojúhelníku se stranami a, b, c vnější vrcholy čtverců sestrojených nad těmito stranami úsečkami, vzniknou tři trojúhelníky, které jsou na obrázku vyšrafované. Dokažte, že každý z těchto tři trojúhelníků má obsah rovný obsahu výchozího trojúhelníku, tj. červeného trojúhelníku na obrázku.

Prémiový úkol č. 7: Navrhněte způsob, jak využít níže uvedený obrázek k důkazu Pythagorovy věty.

• Mocnost bodu ke kružnici. Užití při řešení konstrukčních úloh.
• Menelaova a Cevova věta.

PŘEDNÁŠKA 7 Mocnost bodu ke kružnici. Chordála. Potenční bod. Cevova věta. Menelaova věta. Prémiový úkol č. 8: Čtyřúhelníky ABCD, EFGH a IFJH na obrázku jsou obdélníky. Dokažte, že součet obsahů EFGH a IFJH je roven obsahu ABCD.

Prémiový úkol č. 9: Body A, B, C a D leží v uvedeném pořadí na kružnici k, viz obrázek. Tětivy AC a BD se protínají v bodě P, kolmice k AC v bodě C a kolmice k BD v bodě D se protínají v bodě Q. Dokažte, že přímky AB a PQ jsou na sebe kolmé.

• Kruhová inverze. Užití při řešení konstrukčních úloh.

PŘEDNÁŠKA 8 Inverze. Sférická inverze. Stereografická projekce. Kruhová inverze. Prémiový úkol č. 10: Je dána kružnice k se středem S, přímka l jdoucí bodem S a bod P, který neleží na přímce l ani na kružnici k, viz obrázek. Navrhněte postup konstrukce kolmice z bodu P na přímku l pouze použítím pravítka bez měřítka. Správnost navrhnuté konstrukce dokažte.

• Projektivně rozšířený prostor. Homogenní souřadnice.
• Pappova věta. Princip duality.

PŘEDNÁŠKA 9 Projektivní rozšíření roviny. Homogenní souřadnice. Dvojpoměr. Pappova věta. Prémiový úkol č. 11: Na obrázku je bod D středem pravidelného šestiúhelníku s vrcholem C, který má společný s rovnostranným trojúhelníkem se středem E. Bod S je středem úsečky AB. Dokažte, že úhel ESD je pravý.

• Středová kolineace.

PŘEDNÁŠKA 10 Středová kolineace. (Vybrané věty projektivní geometrie.) Prémiový úkol č. 12: Na obrázku jsou dvě kružnice k a l, ze středu každé z nich jsou sestrojeny tečny k té druhé. Přitom tečny z bodu A protínají kružnici k v bodech P, Q a tečny z bodu B protínají kružnici l v bodech R a S. Dokažte, že |PQ|=|RS|.

• Axiomatická výstavba geometrie.
• Eukleidovské konstrukce.
• Neeuklidovské geometrie.

PŘEDNÁŠKA 11 Axiomatická výstavba geometrie. Neeukleidovské geometrie.

Literatura

[1]  Sekanina, M. a kol.: Geometrie II, SPN, Praha 1988.
[2]  Sekanina, M. a kol.: Geometrie I, SPN, Praha 1988.
[3]  Kuřina, F.: 10 geometrických transformací. Prometheus, Praha, 2002.
[4]  Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983.
[5]  Pomykalová, E., Matematika pro gymnázia - Planimetrie. Prometheus, Praha, 2008.
[6]  Kuřina, F.: 10 pohledů na geomatrii. Akademie věd České republiky, 1996.
[7]  Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.
[8]  Pech, P., Analytická geometrie lineárních útvarů, České Budějovice, PF JU, 2004.
[9]  Hašek, R., Text k přednáškám GEO2 - LS 2017.

Internetové odkazy

Software ke stažení

www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)

Materiály pro výuku a sebevzdělávání

i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
www.cut-the-knot.org ... Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
http://www.math.uoc.gr ... Geometrikon - galerie geometrických témat

Požadavky na studenta

• Zkouška.
  • Písemná a ústní zkouška v rozsahu probíraného učiva.
    Otázky ke zkoušce.
    
  • Podmínky řešení prémiových příkladů: Srozumitelný a přehledný zápis řešení problému, pochopitelně doplněný alespoň jedním obrázkem, můžete posílat během 1 týdne následujícího po dni zadání (zadání proběhne vždy na přednášce) na adresu hasek@pf.jcu.cz. Dokument obsahující řešení může mít libovolnou formu, od oskenování ručně psaného řešení až po text napsaný v textovém editoru. Vždy se však musí jednat o autentický text vypracovaný tím, kdo dokument posílá. Prvních pět autorů správných řešení bude odměněno zvýhodněním 1 bodu při hodnocení zkouškové písemky (bude možno za ni získat maximálně 15 bodů) (Přehled řešitelů prémiových úkolů).