GEOMETRIE II - KMA/GEO2 (verze 2018) |
Předmět Geometrie II je věnován detailnímu seznámení s afinními zobrazeními - shodnostmi a podobnostmi v rovině a prostoru. Zvláštní pozornost je věnována jejich užití při řešení konstrukčních úloh.
Kompletní učební text ve formátu PDF: Hašek: GEOMETRIE II - KMA/GEO2 (aktualizováno 13. 4. 2018)
PŘEDNÁŠKA 1 |
PŘEDNÁŠKA 2
Prémiový úkol č. 1: Čtverce ABCD a BFGE mají společný vrchol B, viz obrázek. Dokažte, že přímky AE a CF jsou pro každé takovéto čtverce kolmé. (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
PŘEDNÁŠKA 3
Afinita. Modul afinity.
Prémiový úkol č. 2: Uvažujme dvě kružnice k, l se společnými body A, B, viz obrázek. Pohybuje-li se bod P po oblouku BA, délka tětivy QR kružnice k je konstantní. Dokažte! (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
PŘEDNÁŠKA 4
Prémiový úkol č. 3: Dokažte, že pro libovolný rovnoběžník ABCD se stranami a, b a úhlopříčkami e, f, viz obrázek, platí |
PŘEDNÁŠKA 5
Úkol: S využitím daných apletů promyslete důkaz tvrzení "Každá shodnost se dá složit z nejvýše tří osových souměrností".
Prémiový úkol č. 4: Dokažte, že pro trojboký jehlan A, B, C, D, který vznikne "uříznutím" z kvádru dle obrázku, platí kde SABC, SABD, SBCD, SACD jsou obsahy stěn tohoto jehlanu. |
Prémiový úkol č. 5: Jsou dány kružnice k, l protínající se v bodech E, F. Tečna kružnice l v bodě E protíná k v bodě G. Zvolme libovolný bod C na oblouku EG, viz obrázek, a sestrojme přímku CE, která protína kružnici l v bodě D. Dokažte, že trojúhelníky DEF a CGF jsou podobné. |
PŘEDNÁŠKA 6
Shodnosti. Grupa shodností. [GeoGebra: Určenost shodnosti v rovině] Stejnolehlost. Stejnolehlost kružnic. Mongeova věta.
Aplety (stejnolehlost): Prémiový úkol č. 6: Spojíme-li u libovolného trojúhelníku se stranami a, b, c vnější vrcholy čtverců sestrojených nad těmito stranami úsečkami, vzniknou tři trojúhelníky, které jsou na obrázku vyšrafované. Dokažte, že každý z těchto tři trojúhelníků má obsah rovný obsahu výchozího trojúhelníku, tj. červeného trojúhelníku na obrázku. |
Prémiový úkol č. 7: Navrhněte způsob, jak využít níže uvedený obrázek k důkazu Pythagorovy věty. |
PŘEDNÁŠKA 7
Mocnost bodu ke kružnici. Chordála. Potenční bod. Prémiový úkol č. 8: Čtyřúhelníky ABCD, EFGH a IFJH na obrázku jsou obdélníky. Dokažte, že součet obsahů EFGH a IFJH je roven obsahu ABCD. |
Prémiový úkol č. 9: Body A, B, C a D leží v uvedeném pořadí na kružnici k, viz obrázek. Tětivy AC a BD se protínají v bodě P, kolmice k AC v bodě C a kolmice k BD v bodě D se protínají v bodě Q. Dokažte, že přímky AB a PQ jsou na sebe kolmé. |
PŘEDNÁŠKA 8
Inverze. Sférická inverze. Stereografická projekce. Prémiový úkol č. 10: Je dána kružnice k se středem S, přímka l jdoucí bodem S a bod P, který neleží na přímce l ani na kružnici k, viz obrázek. Navrhněte postup konstrukce kolmice z bodu P na přímku l pouze použítím pravítka bez měřítka. Správnost navrhnuté konstrukce dokažte. |
PŘEDNÁŠKA 9
Projektivní rozšíření roviny. Homogenní souřadnice. Prémiový úkol č. 11: Na obrázku je bod D středem pravidelného šestiúhelníku s vrcholem C, který má společný s rovnostranným trojúhelníkem se středem E. Bod S je středem úsečky AB. Dokažte, že úhel ESD je pravý. |
PŘEDNÁŠKA 10
(Vybrané věty projektivní geometrie.) Prémiový úkol č. 12: Na obrázku jsou dvě kružnice k a l, ze středu každé z nich jsou sestrojeny tečny k té druhé. Přitom tečny z bodu A protínají kružnici k v bodech P, Q a tečny z bodu B protínají kružnici l v bodech R a S. Dokažte, že |PQ|=|RS|. |
PŘEDNÁŠKA 11 |
[1] Sekanina, M. a kol.: Geometrie II, SPN, Praha 1988.
[2] Sekanina, M. a kol.: Geometrie I, SPN, Praha 1988.
[3] Kuřina, F.: 10 geometrických transformací. Prometheus, Praha, 2002.
[4] Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983.
[5] Pomykalová, E., Matematika pro gymnázia - Planimetrie. Prometheus, Praha, 2008.
[6] Kuřina, F.: 10 pohledů na geomatrii. Akademie věd České republiky, 1996.
[7] Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.
[8] Pech, P., Analytická geometrie lineárních útvarů,
České Budějovice, PF JU, 2004.
[9] Hašek, R., Text k přednáškám GEO2 - LS 2017.
www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)
i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
www.cut-the-knot.org ... Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
http://www.math.uoc.gr ... Geometrikon - galerie geometrických témat
Roman Hašek, katedra matematiky PF JU, kontakt: hasek@pf.jcu.cz