Výpočetní technika pro matematiky - KMA/VTM

Předmět Výpočetní technika pro matematiky poskytuje přehled možností využití počítače v matematice. Prostřednictvím řešení konkrétních problémů jsou podány základy užití počítačů, především programů GeoGebra a wxMaxima.



Obsah seminářů

  1. Úvod do programu GeoGebra
    Nákresna, animace konstrukce, export na GeoGebraTube

    Příklad 1: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c=5 cm, vc=6 cm, tc=8 cm. Vytvořte animaci postupu a uložte ji na portál GeoGebraTube.

    Příklad 2: Výše uvedenou konstrukci modifikujte tak, aby bylo možno měnit velikosti daných prvků c, vc, tc trojúhelníku ABC.

    Úkol :  Vyberte si jednu konstrukční úlohu na trojúhelník z materiálu: Daniel Kratochvíl: Konstrukce trojúhelníka, tuto konstrukci sestrojte v programu GeoGebra, animujte a exportujte na GeoGebraTube (před tím se tam ovšem musíte registrovat). O řešení úkolu vypracujte záznam (Word, Open Office, LaTeX apod.), ve kterém nezapomeňte uvést odkaz na vytvořený aplet. Soubor se záznamem vložte do určeného adresáře na Google disku.

  2. Graf funkce.
    Zobrazení grafu funkce v nákresně. Využití posuvníku při zkoumání vlastností grafu funkce.

    Příklad 1: Uvažujme exponenciální funkci f: y=ax, kde základem a může být jakékoliv kladné reálné číslo s výjimkou 1. Existuje taková hodnota a, pro kterou je exponenciální funkce f rovna své derivaci? Odpověď hledejte prostřednictvím programu GeoGebra.

    Příklad 2: Sestrojte graf harmonické funkce f:y=asin(bx+c). Pomocí posuvníku vyšetřete vliv jednotlivých parametrů (a, b, c) na průběh grafu harmonické funkce.

    Úkol :  V tabulce uvedené zde si vyberte předpis jedné funkce s parametrem. Tuto funkci zobrazte v programu GeoGebra a pomocí posuvníku (posuvníků) vyšetřete vliv hodnot jednotlivých parametrů na průběh grafu této funkce. Soubor exportujte na GeoGebraTube. O řešení úkolu vypracujte záznam do svého dokumentu ve společném adresáři na Google Disku.

  3. Tabulka programu GeoGebra.
    Propojení nákresny s tabulkou. Načítání dat do tabulky.

    Příklad 1:  Na obrázku je znázorněn list papíru, který je přehnut tak, že levý horní roh se dotýká spodního okraje v bodě P ve vzdálenosti x od levého dolního rohu. Představte si všechny možné takovéto polohy bodu P. Pro jaké x je obsah vyšrafovaného trojúhelníku na obrázku maximální?

    List papíru

    Příklad 2:  Rádi bychom si z čtvercového kartonu o straně a vyrobili otevřenou krabičku na cukroví. Začneme tím, že si na karton načrtneme síť budoucí krabičky (viz obrázek), tj. v každém rohu kartonu vyznačíme čtverec o straně x, který představuje záložku při lepení krabičky. Najděte hodnotu x, pro kterou dostaneme krabičku o maximálním objemu.

    Výroba krabičky

    Příklad 3:  Uvažujte obdélník o konstantním obvodu. Pro jaký poměr délek jeho stran a, b je jeho obsah maximální?.

    Úkol : Najděte nebo vytvořte úlohu na výpočet extrému a tuto úlohu vyřešte v programu GeoGebra. Pokud je to možné a názornosti řešení prospěšné, využijte při tom Nákresnu, Tabulky i CAS. (Soubor exportujte na GeoGebraTube. O řešení úkolu vypracujte záznam do svého dokumentu ve společném adresáři na Google Disku.) [Hotové úlohy nebo náměty na vytvoření úloh nových můžete čerpat zde: 1, 2, 3 (Převzato z WEIMER, R. C.Applied Calculus with Technology. Brooks/Cole Publishing Company, 1998.)]

  4. Regiomontanův problém

    Příklad 3: Uvažujme sochu na podstavci, obojí známých rozměrů. Najděte optimální vzdálenost pozorovatele, opět známé výšky, z níž vidí sochu nejlépe.
    Viditelnost sochy
  5. Program wxMaxima ve výuce matematiky.
    Užití programu wxMaxima pro základní výpočty a zobrazení grafů.

    Úkol:  Prostudujte článek "Program wxMaxima ve výuce matematiky" a samostatně vyřešte všechny uvedené příklady. Každému příkladu věnujte zvláštní soubor, jehož součástí bude kromě výpočtu i zadání úlohy. Soubory uložte do složky s Vaším jménem na Google Disku.

  6. Rovnice a nerovnice.
    Řešení algebraických rovnic a jejich soustav, goniometrických rovnic, transcendentních rovnic a vybraných nerovnic užitím programu wxMaxima a GeoGebra.

    Úkol:  Užitím programů wxMaxima a GeoGebra řešte úlohy zadané v dokumentu ReseniRovnic.pdf.
    Možné postupy řešení uvedených úloh ve wxMaximě: algebraické rovnice, soustavy algebraických rovnic, goniometrické rovnice, numerické řešení rovnic, nerovnice.

  7. Feynmanův trojúhelník (One-seventh area triangle).

    Úkol:   Uvažujme libovolný trojúhelník ABC (viz obrázek). Vždy v jedné třetině každé jeho strany umístíme postupně body P, Q, R a spojíme je s protilehlými vrcholy. Průsečíky těchto spojnic jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Ověřte a dokažte (synteticky nebo analyticky; případně najděte důkaz na internetu a interpretujte ho v GeoGebře) tvrzení, že obsah trojúhelníku KLM je jednou sedminou obsahu trojúhelníku ABC.

    Feynmanův trojúhelník

  8. Množiny bodů dané vlastnosti
    Kombinace geometrických a algebraických nástrojů

    Příklad 1:  V rovině jsou dány dva různé body A, B (volte např. A=[-5,0], B=[5,0]). Určete množinu (její podobu a analytické vyjádření) všech bodů X z dané roviny, pro které platí |AX|/|BX|=k, kde |AX|, |BX| jsou vzdálenosti bodu X od bodu A, resp. B a k je reálná konstanta (volte např. k=2).

    Příklad 2:  Uvažujte body A, B z předchozího příkladu a pokuste se určit množiny všech bodů X v rovině, které vyhovují následujícím podmínkám pro vzdálenosti |AX| a |BX|:
    a) |AX|·|BX|=k,
    b) |AX|+|BX|=k,
    kde k je opět reálná konstanta.

    Příklad 3:  Jednoduchý žebřík délky l stojí opřený o zeď. Na jednom stupni žebříku, ve vzdálenosti a od jeho paty, spí kočka. Po jaké trajektorii se pohybuje (tvrdě) spící kočka, jestliže se žebřík začne klouzáním po podlaze, tedy i po zdi, pohybovat směrem k zemi. Uvažujte různé hodnoty a.

  9. Tvorba dokumentu v systému LaTeX
    V systému LaTeX napište text článku Strofoida.Potřebný obrázek buď vytvořte v programu GeoGebra, nebo použijte tento. Náhled zdrojového textu kompletního článku je zde.


Literatura pro samostudium (online)

  1. Günzel, M. a kol.: Integrace elektronických prostředí pro počítačem podporovanou výuku matematiky. Jihočeská univerzita v Č. B., 2012. Dostupné z http://home.pf.jcu.cz/~ippvm/archives/category/publikace
  2. Hohenwarter, M., Hohenwarter, J. Introduction to GeoGebra, Version 4.2 Dostupné z http://www.geogebra.org/book/intro-en.pdf



Další doporučená literatura



Internetové odkazy

Dynamická geometrie
i2geo.net ... I2G Intergeo - mezinárodní portál pro sdílení materiálů dynamické geometrie

Maple
www.maplesoft.com ... oficiální stránka Maple
www.maplesoft.cz ... prodejce Maple v ČR
Přehled základních příkazů Maple   Základy práce s programem Maple (pdf)  

Derive
www.austromath.at/dug ... Derive Users Group
education.ti.com ... Texas Instruments
home.pf.jcu.cz/~hasek/Derive6.html ... učební materiály pro úvod do práce s programem Derive, řešené úlohy, archivní materiály k výuce programu Derive od roku 2005

wxMaxima / Maxima
wxmaxima.sourceforge.net ... stránka věnovaná volně šiřitelnému CAS programu wxMaxima, možnost stáhnutí instalace, příklady použití, další odkazy, například na fórum uživatelů
maxima.sourceforge.net ... Maxima

GeoGebra
www.geogebra.org ... stránka věnovaná volně šiřitelnému programu GeoGebra, možnost stáhnutí instalace a manuálů, příklady použití, další odkazy
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod. (postupně překládaná česká verze: wiki.geogebra.org/cs/)
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí

Sage
www.sagemath.org
www.sagenb.org

LaTeX
Drsný úvod do Latexu
Ne příliš stručný úvod do systému LATEX
LaTeX (Wikibooks)

Matematika kolem nás
Maths in the City
Plus magazine ... living mathematics



Požadavky na studenta

  • Vypracování seminární práce. Téma práce vzejde z konzultace s vyučujícím, součástí seminární práce musí být dokument vytvořený v systému LaTeX.

Roman Hašek, katedra matematiky PF JU, kontakt: hasek@pf.jcu.cz