Roman Hašek
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, Pedagogická fakulta, České Budějovice
(English version follows.)
Je tomu 10 let, co byla na 17. mezinárodní konferenci o geometrii a grafice v Pekingu a následně na 2. Česko-slovenské konferenci o geometrii a grafice v Rožnově pod Radhoštěm představena preclíková křivka, angl. pretzel curve. Vyjevila se tehdy při řešení problému č. 35 ze sbírky Exercitationes Geometricae (1773) od poděbradského rodáka Jana Holfelda. O této pozoruhodné křivce bylo mimo jiné prokázáno, že je konchoidou paraboly s pólem umístěným v jejím ohnisku. Patří proto mezi tak zvané ohniskové konchoidy kuželoseček, které zmínil například E. H. Lockwood v jednom krátkém odstavci své knihy A book of curves (1961). Aniž by tak sám učinil, vyzval čtenáře k zobrazení těchto křivek pro konkrétní nastavení hodnoty jejich parametru fixní vzdálenosti vzhledem k hodnotám určujících prvků kuželosečky. Jako ohnisková konchoida paraboly s parametrem rovným jejímu latus rectum se pak zobrazí výše zmíněná preclíková křivka. Zasazením do rodiny příbuzných křivek se tak uzavírá cesta jejího zkoumání.
Příspěvek je symbolickou tečkou za tímto procesem. Vychází z Lockwoodova odstavce, aby formou dynamických GeoGebra appletů uspořádaných do GeoGebra knihy Focal conchoids of conics, umožnil čtenáři naplnit Lockwoodovu výzvu, a všechny pozoruhodné případy ohniskových kuželoseček, jak pro parabolu a elipsu, tak i pro hyperbolu, náležitě zobrazit. Kromě samotné GeoGebra knihy budou stručně představeny geometrické základy jejich tvorby, svou náročností nepřekračující hranice kurikula středoškolské matematiky.
Focal conchoids of conic sections
It has been ten years since the pretzel curve was first introduced at the 17th International Conference on Geometry and Graphics in Beijing and subsequently at the 2nd Czech–Slovak Conference on Geometry and Graphics in Rožnov pod Radhoštěm. The curve emerged during the solution of Problem No. 35 from Exercitationes Geometricae (1773) by the Poděbrady-born mathematician Jan Holfeld. Among its remarkable properties, it was shown to be the conchoid of a parabola with the pole located at the parabola’s focus. It therefore belongs to the family of so-called focal conchoids of conics, briefly mentioned by E. H. Lockwood in A Book of Curves (1961). Although he did not himself draw these curves, Lockwood invited readers to do so for particular values of the constant-distance parameter relative to the defining parameters of the conic. When this parameter is chosen to be equal to the parabola’s latus rectum, the resulting focal conchoid is precisely the above-mentioned pretzel curve. Identifying the pretzel curve as a member of the broader family of focal conchoids thus completes the investigation of its geometric nature.
The present contribution serves as a symbolic conclusion to this line of research. Taking Lockwood’s brief discussion as its point of departure, it presents a collection of dynamic GeoGebra applets organized into the GeoGebra Book Focal Conchoids of Conics. These interactive constructions enable readers to take up Lockwood’s invitation and draw all the remarkable focal conchoids of the parabola, ellipse, and hyperbola. In addition to the GeoGebra Book itself, the paper briefly outlines the geometric principles underlying the construction of these applets, using only methods that remain within the scope of the secondary-school mathematics curriculum.