Výpočetní technika pro matematiky I - KMA/VTM1

Předmět Výpočetní technika pro matematiky 1 poskytuje přehled možností využití počítače v matematice. Prostřednictvím řešení konkrétních problémů jsou podány základy užití počítačů, především programů GeoGebra a wxMaxima.

Obsah seminářů

1. Úvod do matematických programů a aplikací.
   GeoGebra: Nákresna, animace konstrukce, export na www.geogebra.org

   Příklad 1: Tětivy tří kružnic, které nemají dohromady žádný společný bod, přitom ale každé dvě z nich se protínají ve dvou bodech, procházejí jedním bodem. Vytvořte dynamický obrázek a uvvedenou vlastnost se pokuste dokázat. Výsledný materiál uložte na portál www.geogebra.org (sdíleno odkazem).

2. 2D a 3D konstrukce v GeoGebře
   

   Příklad 1: Proveďte řez čtyřbokého jehlanu ABCDE rovinou FGH. Sestrojte tak, aby bylo možné měnit parametry jehlanu i roviny tažením myší. (Inspirace viz https://www.geogebra.org/m/mpe4dbfn)

   Příklad 2: Vzorec pro objem koule se dá snadno odvodit aplikací Cavalieriho principu na dvojici těles, polokouli o poloměru r a válec s podstavou o poloměru r, výškou r a s dutinou ve tvaru kužele, jehož podstava je totožná s horní podstavou válce a výška je rovněž r, viz obrázek. Vytvořte dynamický model. (Inspirace viz https://www.geogebra.org/m/WMK52dKA)

   

   Příklad 3: Sestrojte libovolný trojrozměrný tvar složený ze čtyř jednotkových krychlí (sousední krychle mají společnou vždy celou stěnu). (Inspirace viz Tvary ze čtyř krychlí)

   Příklad 4: (Platónská tělesa) V GeoGebře, Grafickém náhledu 3D, sestrojte všechna Platónská tělesa, tj. všechny různé pravidelné mnohostěny.

   (Duální mnohostěny) Pravidelné mnohostěny mají vlastnost vzájemné duality, která spočívá v tom, že středy stěn jednoho odpovídají vrcholům druhého, s ním duálního. Tato vlastnost je přitom vzájemná; čtyřstěn je duální sám se sebou, šestistěn (krychle) je vzájemně duální s osmistěnem, dvanáctistěn je potom vzájemně duální s dvacetistěnem, viz obrázky níže. Více o dualitě mnohostěnů viz např. článek Dual polyhedron.

          

   ÚKOL:   Zaregistrujte se do příslušné třídy (Classroom) na www.geogebra.org (přístupový kód dostanete během online semináře, případně si o něj napište) a do každého ze tří připravených Grafických náhledů 3D sestrojte jednu dvojici vzájemně duálních pravidelných mnohostěnů.

   Quételetova-Dandelinova věta pro kuželovou plochu: Rovina, která naní vrcholová, ani není kolmá k ose a která s rovinou povrchové kružnice rotační kuželové plochy svírá úhel menší než povrchové přímky plochy, protíná rotační kuželovou plochu v elipse. Jejími ohnisky jsou dotykové body kulových ploch, které jsou vepsány kuželové ploše a dotýkají se roviny řezu (Drábek, K., Harant, F., Setzer, O.:. Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1978., str. 208).

   
   Quételetova-Dandelinova věta pro kuželovou plochu a její důkaz

   ÚKOL:   Sestrojte dynamický obrázek ilustrující Quételetovu-Dandelinovu větu pro kuželovou plochu dle výše uvedeného vzoru.

3. Množiny bodů dané vlastnosti
   Kombinace geometrických a algebraických nástrojů

   Příklad 1: Vytvořte dynamický 2D model zvedáku na obrázku. Vyšetřete trajektorie jeho vybraných bodů. Vytvořte dynamický model. (Inspirace viz https://www.geogebra.org/m/jpanvmfm)

   

   Příklad 2:  Jednoduchý žebřík délky l stojí opřený o zeď. Na jednom stupni žebříku, ve vzdálenosti a od jeho paty, spí kočka. Po jaké trajektorii se pohybuje (tvrdě) spící kočka, jestliže se žebřík začne klouzáním po podlaze, tedy i po zdi, pohybovat směrem k zemi. Uvažujte různé hodnoty a.

   Příklad 3: Je dána kružnice k se středem A a poloměrem r. Zvolte libovolný pevný bod B uvnitř kružnice k a určete množinu všech bodů, které maji stejnou vzdálenost od bodu B i kružnice k.

   

   Příklad 4:  V rovině jsou dány dva různé body A, B (volte např. A=[-5,0], B=[5,0]). Určete množinu (její podobu a analytické vyjádření) všech bodů X z dané roviny, pro které platí |AX|/|BX|=k, kde |AX|, |BX| jsou vzdálenosti bodu X od bodu A, resp. B a k je reálná konstanta (volte např. k=2).

   Příklad 5:  Uvažujte body A, B z předchozího příkladu a pokuste se určit množiny všech bodů X v rovině, které vyhovují následujícím podmínkám pro vzdálenosti |AX| a |BX|:
   a) |AX|·|BX|=k,
   b) |AX|+|BX|=k,
   kde k je opět reálná konstanta.

4. Graf funkce.
   Zobrazení grafu funkce v nákresně. Využití posuvníku při zkoumání vlastností grafu funkce.

   Příklad 1: Uvažujme exponenciální funkci f: y=a^x, kde základem a může být jakékoliv kladné reálné číslo s výjimkou 1. Existuje taková hodnota a, pro kterou je exponenciální funkce f rovna své derivaci? Odpověď hledejte prostřednictvím programu GeoGebra.

   Příklad 2: Sestrojte graf harmonické funkce f:y=asin(bx+c). Pomocí posuvníku vyšetřete vliv jednotlivých parametrů (a, b, c) na průběh grafu harmonické funkce.

   Úkol :  V tabulce uvedené zde si vyberte předpis funkce s parametrem, jejíž číslo je uvedeno u Vašeho jména v tomto seznamu. Funkci zobrazte v programu GeoGebra a pomocí posuvníku (posuvníků) vyšetřete vliv hodnot jednotlivých parametrů na průběh jejího grafu. Soubor exportujte na www.geogebra.org.

5. Tabulka programu GeoGebra.
   Propojení nákresny s tabulkou. Načítání dat do tabulky.

   Příklad 1:  Na obrázku je znázorněn list papíru, který je přehnut tak, že levý horní roh se dotýká spodního okraje v bodě P ve vzdálenosti x od levého dolního rohu. Představte si všechny možné takovéto polohy bodu P. Pro jaké x je obsah vyšrafovaného trojúhelníku na obrázku maximální?

   

   Příklad 2:  Rádi bychom si z čtvercového kartonu o straně a vyrobili otevřenou krabičku na cukroví. Začneme tím, že si na karton načrtneme síť budoucí krabičky (viz obrázek), tj. v každém rohu kartonu vyznačíme čtverec o straně x, který představuje záložku při lepení krabičky. Najděte hodnotu x, pro kterou dostaneme krabičku o maximálním objemu.

   

   Příklad 3:  Uvažujte obdélník o konstantním obvodu. Pro jaký poměr délek jeho stran a, b je jeho obsah maximální?.

   Úkol:  Najděte nebo vytvořte úlohu na výpočet extrému a tuto úlohu vyřešte v programu GeoGebra. Pokud je to možné a názornosti řešení prospěšné, využijte při tom Nákresnu, Tabulky i CAS. (Soubor exportujte na GeoGebraTube. O řešení úkolu vypracujte záznam do svého dokumentu ve společném adresáři na Google Disku.) [Hotové úlohy nebo náměty na vytvoření úloh nových můžete čerpat zde: 1, 2, 3 (Převzato z WEIMER, R. C.Applied Calculus with Technology. Brooks/Cole Publishing Company, 1998.)]

6. Feynmanův trojúhelník (One-seventh area triangle).
   

   Příklad:   Uvažujme libovolný trojúhelník ABC (viz obrázek). Vždy v jedné třetině každé jeho strany umístíme postupně body P, Q, R a spojíme je s protilehlými vrcholy. Průsečíky těchto spojnic jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Ověřte a dokažte (synteticky nebo analyticky; případně najděte důkaz na internetu a interpretujte ho v GeoGebře) tvrzení, že obsah trojúhelníku KLM je jednou sedminou obsahu trojúhelníku ABC.

   

7. Tvorba GeoGebraBooku.
   Společně vytvořený cvičný GeoGebraBook: Kuželosečky.
8. Rovnice a nerovnice.
   Řešení algebraických rovnic a jejich soustav, goniometrických rovnic, transcendentních rovnic a vybraných nerovnic užitím programu wxMaxima a GeoGebra.

   Úkol:  Užitím programů wxMaxima a GeoGebra řešte úlohy zadané v dokumentu ReseniRovnic.pdf.
   Možné postupy řešení uvedených úloh ve wxMaximě: algebraické rovnice, soustavy algebraických rovnic, goniometrické rovnice, numerické řešení rovnic, nerovnice.

9. Množiny bodů dané vlastnosti
   Kombinace geometrických a algebraických nástrojů

   Příklad 1:  V rovině jsou dány dva různé body A, B (volte např. A=[-5,0], B=[5,0]). Určete množinu (její podobu a analytické vyjádření) všech bodů X z dané roviny, pro které platí |AX|/|BX|=k, kde |AX|, |BX| jsou vzdálenosti bodu X od bodu A, resp. B a k je reálná konstanta (volte např. k=2).

   Příklad 2:  Uvažujte body A, B z předchozího příkladu a pokuste se určit množiny všech bodů X v rovině, které vyhovují následujícím podmínkám pro vzdálenosti |AX| a |BX|:
   a) |AX|·|BX|=k,
   b) |AX|+|BX|=k,
   kde k je opět reálná konstanta.

   Příklad 3:  Jednoduchý žebřík délky l stojí opřený o zeď. Na jednom stupni žebříku, ve vzdálenosti a od jeho paty, spí kočka. Po jaké trajektorii se pohybuje (tvrdě) spící kočka, jestliže se žebřík začne klouzáním po podlaze, tedy i po zdi, pohybovat směrem k zemi. Uvažujte různé hodnoty a.

   Úkol:  Pro závěrečný úkol si můžete vybrat jednu z následujících možností:

   • Vytvoření "matematického obrázku" (v duchu toho, který jsme vytvářeli na seminářích 19. 11.) s těmito vlastnostmi: 1) použití alespoň 4 matematických funkcí, 2) definování obrazců pomocí nerovnic a jejich soustav, 3) přítomnost alespoň 2 animovaných objektů, z toho jedna fotografie.
   • Určení (obrázek i rovnice) množiny bodů daných vlastností pomocí programu GeoGebra nebo wxMaxima. Zadání najdete zde: "F. Kuřina, 10 pohledů na geometrii, str. 139". Přitom můžete řešit jenom takovou úlohu z uvedeného seznamu, u jejíhož čísla se poslední číslice shoduje s poslední číslicí Vašeho osobního čísla, nebo je o jednu menší (v případě 0 se jedná o číslici 9), nebo o jednu větší (v případě 9 uvažujte 0).

10. Program wxMaxima ve výuce matematiky.
    Užití programu wxMaxima pro základní výpočty a zobrazení grafů.

    Úkol:  Prostudujte článek "Program wxMaxima ve výuce matematiky" a samostatně vyřešte všechny uvedené příklady. Každému příkladu věnujte zvláštní soubor, jehož součástí bude kromě výpočtu i zadání úlohy. Soubory uložte do složky s Vaším jménem na Google Disku.

Literatura pro samostudium (online)

1. Günzel, M. a kol.: Integrace elektronických prostředí pro počítačem podporovanou výuku matematiky. Jihočeská univerzita v Č. B., 2012. Dostupné z http://home.pf.jcu.cz/~ippvm/archives/category/publikace
   
2. Hohenwarter, M., Hohenwarter, J. Introduction to GeoGebra, Version 4.2 Dostupné z http://www.geogebra.org/book/intro-en.pdf
   

Další doporučená literatura

• J. Böhm et al.: The Case for CAS
• R. Hašek: Užití Derive ve výuce matematiky (pdf) [online]
• Hašek, R., Petrášková, V. GeoGebra in financial education. North American GeoGebra Journal, Vol. 2, No. 1, 2013, Miami University, USA, ISSN: 2162-3856, pp. 31-36. Dostupné z http://www.ggbmidwest.com
  
• Hašek, R. Numerical analysis of a planar motion; GeoGebra as a tool of investigation. North American GeoGebra Journal (ISSN: 2162-3856). Miami University, Oxford, OH, USA. Vol. 1, No. 1, 2012. pp. 33 - 36. Dostupné z http://www.ggbmidwest.com
  
• J. Leydold, M. Petry: Introduction to Maxima for Economics (pdf) [online]

Internetové odkazy

GeoGebra
www.geogebra.org ... stránka věnovaná volně šiřitelnému programu GeoGebra, možnost stáhnutí instalace a manuálů, příklady použití, další odkazy
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebra.org/materials/ ... Volně dostupné materiály vytvořené v GeoGebře
GeoGebra Kniha ... Návod na tvorbu online "knihy".
GeoGebra Skupina ... Návod na práci se "skupinou".

Dynamická geometrie
i2geo.net ... I2G Intergeo - mezinárodní portál pro sdílení materiálů dynamické geometrie

Maple
www.maplesoft.com ... oficiální stránka Maple
www.maplesoft.cz ... prodejce Maple v ČR
Přehled základních příkazů Maple   Základy práce s programem Maple (pdf)  

Derive
www.austromath.at/dug ... Derive Users Group
education.ti.com ... Texas Instruments
home.pf.jcu.cz/~hasek/Derive6.html ... učební materiály pro úvod do práce s programem Derive, řešené úlohy, archivní materiály k výuce programu Derive od roku 2005

wxMaxima / Maxima
wxmaxima.sourceforge.net ... stránka věnovaná volně šiřitelnému CAS programu wxMaxima, možnost stáhnutí instalace, příklady použití, další odkazy, například na fórum uživatelů
maxima.sourceforge.net ... Maxima

Sage
www.sagemath.org
www.sagenb.org

LaTeX
Drsný úvod do Latexu
Ne příliš stručný úvod do systému LATEX
LaTeX (Wikibooks)

Matematika kolem nás
Maths in the City
Plus magazine ... living mathematics


Vzdělávací portály a aplikace
IXL
Khan Academy
Desmos
PhET Interactive simulations
Math City Map

Požadavky na studenta

• Vypracování a prezentace seminární práce, která bude pojednávat o nějakém smysluplném využití výpočetní techniky (digitálních technologií) při výuce nebo studiu matematiky. Může se samozřejmě jednat o konkrétní využití programu GeoGebra, ale může se jednat také o něco zcela jiného, ovšem stále užitečného (jiný program, vzdělávací portál, mobilní aplikace, použití počítače k řešení konkrétního matematického problému, použití více programů, využití videí či fotografií apod.).