LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE - KMA/LA2

Kompletní učební text ve formátu PDF: Hašek: LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE - KMA/LA2 (aktualizováno 15. 2. 2018).

Kompletní učební text ve formátu PDF: Hašek: LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE - KMA/LA2 (aktualizováno 21. 6. 2020).

Osnova předmětu

• Řešení soustav m lineárních rovnic o n neznámých.

  Řešitelnost soustavy, Frobeniova podmínka. Soustavy homogenních rovnic. Řešení soustav homogenních a nehomogenních rovnic a jejich geometrivká interpretace. Vztah mezi řešením nehomogenní a příslušné homogenní soustavy lineárních rovnic.

  Přednáška:	Řešení soustav lineárních rovnic. Frobeniova podmínka. Množiny řešení homogenních a nehomogenních soustav. Řešení příkladu 1.1 v GeoGebře: [a) jedno ř.] [b) nekonečně mnoho ř.] [c) nemá ř.]
  Cvičení:	Soustavy lineárních rovnic - úlohy Řešení soustav m lineárních rovnic o n neznámých - další úlohy k samostatnému procvičení: [zadání v pdf] [řešení v GeoGebře]

• Vektorový prostor. Lineární kombinace. Lineární závislost a nezávislost vektorů.

  Přednáška:	Vektorový prostor. Vybrané algebraické struktury (grupa, těleso).
  Cvičení:	Vektorový prostor - úlohy

  Přednáška:	Lineární kombinace. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Dynamické aplety: [lineární kombinace dvou vektorů] [lineární kombinace tří vektorů] [Příklad 3.14 (lineární obal vektorů)]
  Cvičení:	Lineární kombinace, závislost a nezávislost vektorů - úlohy

• Báze vektorového prostoru.

  Přednáška:	Báze vektorového prostoru. Souřadnice vektoru vzhledem k bázi.  Steinitzova věta o výměně a její důsledky. [Příklad]
  Cvičení:	Báze vektorového prostoru - úlohy

5. týden / 16.-22. 3. / Samostudium: Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost. Báze. Zde je zadání samostatné práce pro 5. týden. Jedná se zatím o zopakování toho, co jsme dělali před přerušením výuky. Další témata budou následovat. Prostudujte prosím následující text "Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů" (jedná se o přepracovaný původní text, který navazuje na předchozí kapitoly, viz kompletní text v úvodu této stránky) a co nejlépe vyřešte modře uvedené Příklady. Na konci kapitoly jsou příklady k procvičení. Měli byste zvládnout příklady typu 1 až 12. Je na Vás, zda vše propočítáte. U vybraných úloh uvádím návody, jak postupovat při jejich řešení. K zaznamenání Vašeho postupu při jejich řešení použijte prostředky dle vlastní úvahy. Řešení zatím nikam neposílejte. Založení týmu v aplikaci Microsoft Teams (https://helpdesk.jcu.cz) už je na spadnutí. Budu Vás o všem informovat. V případě dotazů k obsahu výše uvedeného textu a k postupu řešení příkladů použijte v mezičase e-mail. A ještě něco navíc: Math and Movies

6. týden / 23.-29. 3. / Samostudium: Báze vektorového prostoru. Souřadnice vektoru. Vektorový podprostor. Zde je zadání samostatné práce pro 6. týden. Prostudujte prosím následující text "Báze vektorového prostoru." (jedná se o přepracovaný původní text, který navazuje na předchozí kapitoly, viz aktualizovaný kompletní text v úvodu této stránky) a co nejlépe vyřešte modře uvedené Příklady. Na konci kapitoly jsou příklady k procvičení. Měli byste zvládnout příklady typu 1 až 4. Je na Vás, zda vše propočítáte. K zaznamenání Vašeho postupu při jejich řešení použijte prostředky dle vlastní úvahy. Řešení prosím odevzdávejte prostřednictvím Microsoft Teams, kde je rovněž uvedeno toto zadání (https://helpdesk.jcu.cz) A ještě něco navíc: Squashing the curve? [Group definition (video)] [Field definition / Field = Těleso / (video)] [Vector space (video)] [Independence, Basis, and Dimension (video)] [Linear combinations, span, and basis vectors (video)]

7. týden / 30. 3.-3. 4. / Samostudium: Skalární součin. Zde je zadání samostatné práce pro 7. týden. Prostudujte prosím následující text "Skalární součin." (jedná se o přepracovaný původní text, který navazuje na předchozí kapitoly, viz aktualizovaný kompletní text v úvodu této stránky) a co nejlépe vyřešte modře uvedené Příklady. Na konci kapitoly jsou příklady k procvičení. Měli byste zvládnout příklady typu 1 až 4, které jsou opět vysazeny modře. Připomínám, že kapitola 5.3 Důležité nerovnosti je určena pouze pro dobrovolné studium. K zaznamenání Vašeho postupu při jejich řešení použijte prostředky dle vlastní úvahy. Řešení prosím odevzdávejte prostřednictvím Microsoft Teams, kde je rovněž uvedeno toto zadání (https://helpdesk.jcu.cz) Dodatečně, během přípravy zadání pro 8. týden, jsem přepracoval kapitolu "5.4.3 Kolmý průmět vektoru do směru jiného vektoru", proto zde uvádím novou verzi příslušného textu: "Skalární součin (nové)." A ještě něco navíc: It's all in the detail [An Introduction to the Dot Product (video)] [Dot Product and Vector Projections (video)] [Dot Product & Angle Between Vectors (video)]

8. týden / 6. 4.-10. 4. / Samostudium: Ortogonální vektory. Zde je zadání samostatné práce pro 8. týden. Prostudujte prosím následující text "Ortogonální a ortonormální vektory." a co nejlépe vyřešte modře uvedené Příklady a Cvičení, konkrétně Příklady 5.17, 6.1, 6.2, 6.3, 6.6, 6.7 a Cvičení (kap. 6.3) 1 a 2. Připomínám, že některé části textu jsou určeny pro dobrovolné studium, jsou vysazeny jinou barvou. Ještě musím přiznat, že jsem zpětně přepracoval kapitolu "5.4.3 Kolmý průmět vektoru do směru jiného vektoru", proto zde i nahoře v zadání úloh pro 7. týden uvádím novou verzi příslušného textu: "Skalární součin (nové)." K zaznamenání Vašeho postupu při jejich řešení použijte prostředky dle vlastní úvahy. Řešení prosím odevzdávejte prostřednictvím Microsoft Teams, kde je rovněž uvedeno toto zadání (https://helpdesk.jcu.cz) A ještě něco navíc: How not to Die Hard with Math [Orthogonal And Orthonormal Vectors (Linear Algebra) (video)] [Orthogonal bases are easy to work with! (video)]

9. týden / 13. 4.-17. 4. / Samostudium: Vektorový součin. Zde je zadání samostatné práce pro 9. týden. Prostudujte prosím následující text "Vektorový součin." a co nejlépe vyřešte modře uvedená cvičení, konkrétně se jedná o kap. 9.6, cvičení 1 až 4. Připomínám, že některé části textu, konkrétně kap. 9.4 a 9.5, jsou opět určeny pouze pro dobrovolné studium, tradičně jsou vysazeny jinou barvou. K zaznamenání Vašeho postupu při jejich řešení použijte prostředky dle vlastní úvahy. Řešení prosím odevzdávejte prostřednictvím Microsoft Teams, kde je rovněž uvedeno toto zadání. A ještě něco navíc: Visualising Pythagoras: ultimate proofs and crazy contortions [The cross product (video)] [The Cross Product (Level 1 of 9) | Geometric Definition (video)]

10. týden / 20. 4.-24. 4. / Samostudium: Vnější součin. Zde je zadání samostatné práce pro 10. týden. Prostudujte prosím následující text "Vnější součin." a co nejlépe vyřešte modře uvedená cvičení, konkrétně se jedná o příklady 10.2, 10.4 a cvičení 1 až 4 (4. příklad je omylem očíslován 3) z kapitoly 10.4. Připomínám, že některé části textu jsou opět určeny pouze pro dobrovolné studium, tradičně jsou vysazeny jinou barvou. K zaznamenání Vašeho postupu při jejich řešení použijte prostředky dle vlastní úvahy. Řešení prosím odevzdávejte prostřednictvím Microsoft Teams, kde je rovněž uvedeno toto zadání. A ještě něco navíc: Coding is Not Difficult [Volume of a tetrahedron (triple scalar product in use) (video)] [Cavalieri's principle (video)]

• Vektorové prostory se skalárním součinem. Ortogonální vektory. Ortonormální báze.

  Přednáška:	Skalární součin. Norma vektoru. Cauchyova-Schwarzova nerovnost. Trojúhelníková nerovnost. Odchylka vektorů.
  Cvičení:	Skalární součin - úlohy

  Přednáška:	Ortogonální a ortonormální vektory. Ortonormální báze. Gram-Schmidtův ortogonalizační proces. Ortogonální matice.
  Cvičení:	Ortonormální báze - úlohy Úlohy z [1] (Analytická geometrie lineárních útvarů), str. 96-97/cv. 1, 2.

• Vektorový a vnější součin. Zobecnění do Vn.

  Přednáška:	Kolmé podprostory. Ortogonální doplněk vektorového podprostoru. Vektorový součin. Vnější součin.
  Cvičení:	Úlohy z [1] (Analytická geometrie lineárních útvarů), str. 104/cv. 1, 2, str. 115/cv. 2, str. 122/cv. 1.

• Afinní bodový prostor. Afinní bodové podprostory.

  Přednáška:	Afinní bodový prostor. Afinní soustava souřadnic.
  Cvičení:	Afinní bodový prostor - úlohy.

• Neparametrická rovnice nadroviny. Svazky a trsy nadrovin.

  Přednáška:	Afinní bodový podprostor.
  Cvičení:	Parametrické rovnice bodového podprostoru - úlohy.

• Vzájemná poloha afinních podprostorů. Klasifikace vzájemných poloh dvou afinních bodových podprostorů.

  Přednáška:	Obecná (neparametrická) rovnice nadroviny. (Svazky a trsy nadrovin.)
  Cvičení:	Parametrické rovnice přímky a roviny, obecná rovnice roviny, vzdálenosti a odchylky. [1](Analytická geometrie lineárních útvarů) str. 36/2,3; (71-72, 79-81)

• Vzájemná poloha afinních podprostorů. Příčky mimoběžných podprostorů.

  Přednáška:	Vzájemná poloha afinních podprostorů.
  Cvičení:	[1](Analytická geometrie lineárních útvarů) str. 57-58/cv. 5-10

• Eukleidovský prostor. Kartézská soustava souřadnic. Objem simplexu. Vzdálenost podprostorů.
• Odchylka podprostorů.

  Přednáška:	Příčky mimoběžných přímek. Vzdálenosti a odchylky podprostorů. Objem simplexu.
  Cvičení:	Parametrické rovnice přímky a roviny, obecná rovnice roviny, vzdálenosti a odchylky. [1](Analytická geometrie lineárních útvarů) str. 65/cv. 1, 2; str. 143/cv. 1-3; str. 149/cv. 1,3; str. 159-160.

Literatura

[1]  Pech, P., Analytická geometrie lineárních útvarů, České Budějovice, PF JU, 2004.
[2]  Krieg, J., Vaňatová, L., Analytická geometrie lineárních útvarů, České Budějovice, PF JU, 1994.
[3]  Sekanina, M. a kol., Geometrie I, SPN, 1986.
[4]  Bican, L., Lineární algebra, Praha, SNTL 1979.
[5]  Motl, L., Zahradník, M., Pěstujeme lineární algebru, 3. vyd. Praha : Univerzita Karlova v Praze, nakladatelství Karolinum, 2002 [online verze].

Internetové odkazy

Software ke stažení

www.geogebra.org ... bezplatně dostupný program GeoGebra
wxmaxima.sourceforge.net ... bezplatně dostupný CAS program wxMaxima

Materiály pro výuku a sebevzdělávání

www.khanacademy.org/math ... Khan academy
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí

Zkouška, varianta 2020

Zkouška má dvě části - písemnou a ústní. Předmětem písemné zkoušky je řešení pěti úloh odpovídajících úlohám probíraným na přednáškách a cvičeních, v průběhu distanční výuky pak příkladům a cvičením určeným k domácímu řešení (modré). Ústní zkouška spočívá v zodpovězení vylosované otázky a v prokázání schopnosti reagovat na položené otázky k učivu.
Hodnocení písemné části zkoušky: Maximální bodový zisk z písemné zkoušky činí 100 bodů. Písemná část zkoušky je ohodnocena známkou, jejíž hodnota závisí na získaném počtu bodů PB tímto způsobem: 0 < PB < 50 ... 4, 50<= PB < 60 ... 3, 60<= PB < 70 ... 2-, 70<= PB < 80 ... 2, 80<= PB < 90 ... 1-, 90<= PB <= 100 ... 1. Výsledná známka ze zkoušky je tvořena touto známkou spolu s hodnocením výkonu u ústní části zkoušky. Kdo získá z písemné části zkoušky méně než 50 bodů (tj. hodnocení 4), nemůže pokračovat ústní částí zkoušky. V případě neúspěchu, ať už v písemné nebo ústní části zkoušky, je možné zkoušku opakovat. Každý má nárok na jeden řádný termín a dva opravné. V případě neúspěchu u ústní části zkoušky není nutné písemnou část opakovat.

Aktuální verze otázek: [Otázky ke zkoušce KMA/LA2 2020]