GEOMETRIE II - KMA/GEO2

Předmět Geometrie II je věnován detailnímu seznámení s afinními zobrazeními - shodnostmi a podobnostmi v rovině a prostoru. Zvláštní pozornost je věnována jejich užití při řešení konstrukčních úloh.

Osnova předmětu

• Afinní bodový prostor. Dělicí poměr.
  

  PŘEDNÁŠKA 1-2 Připomenutí vybraných pojmů. Ukázky zobrazení v rovině: [Stejnolehlost] [Osová afinita] [Středová kolineace] [Kruhová inverze] Afinní zobrazení. Dělící poměr. Barycentrické souřadnice. Působení afinní transformace roviny: ["Úprava" fotografie]

  CVIČENÍ 1-2 Afinní zobrazení. Působení afinní transformace roviny: ["Úprava" fotografie]

• Shodnosti v E2.
  • Shodná zobrazení v rovině.
  • Osová souměrnost.

  PŘEDNÁŠKA 3-4 Shodná zobrazení v rovině

  CVIČENÍ 3-4 Definice shodného zobrazení. Důkaz věty o určenosti shodnosti v rovině [Určenost shodnosti v rovině]

  • Otočení.
    

  PŘEDNÁŠKA 5-6 Osová souměrnost. Otočení.

  CVIČENÍ 5-6 Úlohy na osovou souměrnost. [Fagnanův problém I - GeoGebra Tube] [Fagnanův problém II - GeoGebra Tube] Úlohy na otočení. [Řešení úlohy 28 - GeoGebra Tube]

  • Středová souměrnost.
  • Posunutí.

  PŘEDNÁŠKA 7 Středová souměrnost. Úkol: S využitím uvedených apletů promyslete důkaz tvrzení "Každá shodnost se dá složit z nejvýše tří osových souměrností". Aplety: [přímá shodnost] [nepřímá shodnost] Posunutí.

  CVIČENÍ 7 Úlohy na středovou souměrnost. Úlohy na posunutí.

  • Posunuté zrcadlení.

  PŘEDNÁŠKA 8 Posunuté zrcadlení.

  CVIČENÍ 8 Úlohy na posunuté zrcadlení.

• Podobnosti v E₂.
  • Stejnolehlost. Skládání stejnolehlostí, Mongeova věta.
    

  PŘEDNÁŠKA 9 Podobnosti v E2. Stejnolehlost. Skládání stejnolehlostí. Stejnolehlost kružnic. Aplety: [Mongeova věta] [Eulerova přímka a kružnice devíti bodů]

  CVIČENÍ 9 Úlohy na stejnolehlost.

• Mocnost bodu ke kružnici.

  PŘEDNÁŠKA 11 Mocnost bodu ke kružnici.

  CVIČENÍ 11 Úlohy na mocnost bodu ke kružnici.

• Afinní zobrazení a jeho vlastnosti. Asociovaný homomorfismus. Analytické vyjádření afinního zobrazení. Skládání afinních zobrazení. Modul afinity. Rovnice shodnosti.

  PŘEDNÁŠKA 12 Analytické vyjádření afinního zobrazení. Afinita. Modul afinity.

  CVIČENÍ 12 Úlohy na mocnost bodu ke kružnici. Úlohy na rovnice shodnosti.

• Analytické vyjádření shodnosti. Samodružné body a směry. Skládání shodností.

  PŘEDNÁŠKA 13 Analytické vyjádření shodností. Klasifikace shodností. [Řešení příkladu 8.1 (samodružné body a směry) - HTML] [Řešení příkladu 8.1 (samodružné body a směry) - WXM] (stáhnout, pak spustit)

  CVIČENÍ 13 Analytické vyjádření shodností. Klasifikace shodností.

• Klasifikace shodností v E2 a E3.
• Osová ofinita. Osová afinita jako zobecnění osové souměrnosti.
  Dynamické znázornění principu rovnoběžného promítání a osové afinity: [Rovnoběžné promítání] [Osová afinita]
• Podobnosti. Klasifikace podobností v E2.
• Cevova věta.

  PŘEDNÁŠKA 14 Podobnosti. Klasifikace podobností v E2. Cevova věta.

  CVIČENÍ 14 Podobnosti. Klasifikace podobností v E2. Cevova věta. Příklad: Je dána přímka o a trojúhelník ABC. Sestrojte obraz A'B'C' trojúhelníku ABC v takové osové afinitě, aby byl trojúhelník A'B'C' rovnostranný. [Řešení v programu GeoGebra]

  
  Vybrané věty z planimetrie: Menelaova a Cevova věta, kružnice devíti bodů, Eulerova přímka, Simsonova přímka, Morleyova věta.

Literatura

[1]  Sekanina, M. a kol.: Geometrie II, SPN, Praha 1988.
[2]  Sekanina, M. a kol.: Geometrie I, SPN, Praha 1988.
[3]  Kuřina, F.: 10 geometrických transformací. Prometheus, Praha, 2002.
[4]  Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983.
[5]  Pomykalová, E., Matematika pro gymnázia - Planimetrie. Prometheus, Praha, 2008.
[6]  Kuřina, F.: 10 pohledů na geomatrii. Akademie věd České republiky, 1996.
[7]  Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.
[8]  Pech, P., Analytická geometrie lineárních útvarů, České Budějovice, PF JU, 2004.
[9]  Hašek, R., Text k přednáškám GEO2 - LS 2014.

Internetové odkazy

Software ke stažení

www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)

Materiály pro výuku a sebevzdělávání

i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
www.cut-the-knot.org ... Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles

Požadavky na studenta

• Vyřešení úloh (cca 30 úloh) zadaných v systému GeoTest [http://geotest.geometry.cz]
  
• Zkouška.
  • Písemná a ústní zkouška v rozsahu probíraného učiva.
    Otázky ke zkoušce. Vzorové příklady. [Vzorový test]