Matematika I - KMA/8M1 |
Předmět Matematika I je věnován detailnímu seznámení se základy elementární geometrie v rovině a v prostoru. Pozornost je věnována především shodným a podobným zobrazením, vzájemným polohám geometrických útvarů, způsobům jejich zobrazování a postupům určování jejich rozměrů, vzdáleností a odchylek.
Kompletní učební text ve formátu PDF: Hašek: Úvod do geometrie (poslední aktualizace 3. 10. 2019).
Cvičení: |
J. Verne: Tajuplný ostrov, str. 121-122 (pdf) / J. Verne: Mysterious Island, p. 102-105 (pdf) |
Přednáška: |
4 principy Františka Kuřiny a 5 van Hieleho úrovní chápání geometrického učiva Jakou geometrickou vlastnost znázorňují následující obrázky? ![]() ![]() |
Cvičení: |
Vizuální důkaz Pythagorovy věty z přednášky /
Perigalův důkaz Pythagorovy věty /
Henry Perigal (1801-1898)
J. V. Sedláček: Základy měřičství (1822) O. Byrne: The Elements of Euclid (B. VI, P. VIII)(1847) Důkaz vztahu pro výpočet obsahu kruhu: Area of a circle, how to get the formula (video) |
Přednáška: |
![]() |
Cvičení: | Spiral of Theodorus (Wikipedia) |
Přednáška: |
![]() |
Cvičení: |
ÚKOL: Kolik různých trojúhelníků (všechny vzájemně shodné uvažujeme jako jeden) můžeme vytvořit na geoboardu 3x3? Umíte je všechny pojmenovat (tj. použít pojmy pravoúhlý, rovnoramenný, tupoúhlý, ...)? Umíte u všech určit obsah (pokud předpokládáme, že vzdálenost sousedních kolíků desky je 1)? Zkuste to! Trojúhelníky nakreslete a opatřete výpočty obsahů. Můžete použít tento online Geoboard. Více o této důležité pomůcce viz např. https://en.wikipedia.org/wiki/Geoboard. ÚKOL: Dle uvedeného obrázku si vyrobte Tangram (pokud tento hlavolam již nevlastníte) a pokuste se, užitím všech jeho součástí, jak stanoví pravidla, vytvořit co nejvíce různých konvexních n-úhelníků. Nafoťte nebo nakreslete. ![]() |
Přednáška: |
ÚKOL: Co mají uvedené dva obrázky (a tojúhelníky na nich zobrazení) společné a čím se liší?
|
Cvičení: |
ÚKOL: Vypočítejte obsahy uvedených obrazců. ![]() ![]() ![]() Zadání úloh pro cvičení (Cvičení 4). [Řešení cvičení 4] Literatura pro další studium: Jordánová, D. Obsah a obvod obrazce s využitím čtvercové sítě ve výuce geometrie na 1. stupni ZŠ. Závěrečná práce DVPP - Učitelství pro 1. stupeň ZŠ. České Budějovice: Jihočeská univerzita v Č. B. 2020. |
Přednáška: |
Kapitoly 6 (dimenze), 7 (míra), 5 (mnohostěny) a 4 (mnohoúhelníky)
![]() Rybník Lusný (Mapy.cz)
Odvození vztahu pro výpočet obsahu kruhu - grafický důkaz (video) |
Cvičení: |
ÚKOL: Vyhlédněte si nějakou vysokou stavbu, sochu či strom a s užitím podobnosti trojúhelníků určete její výšku.
Vytvořte fotografickou dokumentaci (alespoň jeden snímek) a své výpočty i s postupem zapište.
![]() |
Přednáška: |
Kapitoly 4.8 (pravidelné mnohoúhelníky), 5 (mnohostěny)
![]() ![]()
![]() ![]() ![]() ![]()
![]()
![]() |
Cvičení: | Sítě těles: [Kosý hranol] [Pětiboký jehlan] |
Přednáška: |
Pravidelné mnohostěny. Eulerův vztah. (prezentace) / Euler's Formula (www stránka)
![]() Cavalieriho princip / Cavalieri's principle (Wikipedia) |
Cvičení: |
Jak vypočítáme odchylku mezi stěnovou a tělesovou úhlopříčkou v krychli? ![]() [GeoGebra applet] Zadání úkolu pro cvičení: Na stránce Paper Models of Polyhedra si vyberte mnohostěn, vytiskněte si jeho síť a slepte model. Pokud se rozhodnete pro mnohostěn, který má méně než 10 stěn, vyberte si k němu ještě alespoň jeden další, tak, aby součet počtů jejich stěn byl alespoň 10. Výsledek nafoťte a vložte do MS Teams, kde bude tento úkol rovněž zadán. |
Přednáška: |
Rovnoběžné promítání. Středové promítání
![]() LN: Matematika pro páťáky
![]()
![]()
![]() ![]() ![]() nárys - půdorys - bokorys Úkol: Načrtněte nárys, půdorys a bokorys pro každou z níže zobrazených staveb z krychlí!
![]() ![]() ![]()
Úkol: Kolik různých krychlových těles (tvarů) můžeme vytvořit ze čtyř krychlí? Řešení: Tvary ze čtyř krychlí (GeoGebra applet) |
Cvičení: |
Skalární součin Zadání úkolu pro cvičení: Vypočítejte odchylku hrany a tělesové úhlopříčky kvádru o rozměrech 2 x 3 x 5, viz obrázek. ![]() [GeoGebra applet] |
Přednáška: |
![]() ![]()
![]()
![]() ![]() ![]()
![]() Geometrická zobrazení (v rovině) |
Cvičení: |
[Osová souměrnost] [Otočení] [Středová souměrnost] [Posunutí] [Posunutá souměrnost] Úkol: Je dána přímka p a body A, B v téže polorovině s hraniční přímkou p. Najdete všechny body X ∈ p takové, že součet vzdáleností |AX| + |BX| je minimální. (Tato úloha je známa jako Heronův problém; Hérón Alexandrijský, přibl. 10-70 n.l.) Zadání úloh pro cvičení (Cvičení 9). [Řešení cvičení 9] [Příklad 8 (Rotace rovnostranného trojúhelníku)] [Příklad 9 (Zobrazení reprodukující rovnostranný trojúhelník)] [Příklad 10 (Obdélník a jeho obraz v otočení)] |
Přednáška: |
Které z dvojic útvarů jsou vzájemně shodné či podobné?
![]() ![]()
![]() Shepard's tables
![]() ![]() |
Cvičení: |
Zadání úloh pro cvičení (Cvičení 10). Řešení cvičení 10 (GeoGebra applety): [Příklad 1] [Příklad 2] [Příklad 3] [Příklad 4] [Příklad 5] [Příklad 6] |
Přednáška: |
Složení dvou osových souměrností, jejichž osy jsou na sebe kolmé.
![]() [GeoGebra applet] |
Cvičení: |
Přednáška: |
Podobné útvary.
![]()
![]() ÚKOL: Zdůvodněte podobnost trojúhelníků na obrázku! |
Cvičení: |
PŘÍKLAD 13.3. Je dán trojúhelník ABC a jeho vnitřní bod M. Sestrojte všechny úsečky XY se středem M a s krajními body X, Y na hranici trojúhelníku. Řešení: ![]() [GeoGebra applet] Detailní popis řešení příkladu je uveden v textu Hašek, R. Planimetrie na str. 59. PŘÍKLAD 13.5. Jsou dány různé rovnoběžné přímky a, b, c a bod A, který leží na přímce a. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC,jejichž vrcholy B, C leží po řadě na přímkách b, c. Řešení: GeoGebra applet PŘÍKLAD 14.5. Sestrojte alespoň jeden trojúhelník ABC, pro který platí |AB|:|AC| = 3:5, α = 60°, ρ = 1,8 cm (poloměr kružnice vepsané).
Řešení: GeoGebra applet
PŘÍKLAD 14.6. Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno |∠DAB| = α, |∠ABD| = ε, |AC| = e.
Řešení: GeoGebra applet
|
Přednáška: |
GeoGebra applet: Stejnolehlost Zobrazení kružnice ve stejnolehlosti
![]() ![]() [GeoGebra applet: Zobrazení kružnice ve stejnolehlosti] Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé; existují jedna, většinou však dvě stejnolehlosti, v nichž se jedna zobrazí na druhou. Zajímá nás, jak určíme středy těchto stejnolehlostí. Koeficenty jsou jasné, jejich absolutní hodnota je rovna poměru poloměrů příslušných kružnic, v pořadí obraz - vzor.
![]() [GeoGebra applet: Určení středů stejnolehlostí dvou kružnic] Společné tečny kružnic procházejí středy jejich stejnolehlostí, vnější tečny středem E, vnitřní tečny středem I. Stačí tedy najít tyto středy a potom sestrojit tečny z každého z nich k jedné z daných kružnic (užitím Thaletovy kružnice), automaticky budou tečnami i druhé kružnice.
![]() [GeoGebra applet: Konstrukce společných tečen dvou kružnic] Věty o shodnosti trojúhelníků sss, sus, usu, Ssu Věty o podobnosti trojúhelníkůsss, sus, uu, Ssu ![]() ![]() ![]() ![]() Protože existují dva různé trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu proti měnší z nich! ![]() |
Cvičení: |
[Eukleidovské konstrukce]
[Kosý šestiboký hranol (GeoGebra aplet)] [Kolmý pětiboký hranol (GeoGebra aplet)]
[Pravidelné mnohostěny (prezentace v pdf)]
[Cavalieriho princip (GeoGebra aplet)]
[Symmetry in Geometry (Video)]
[GeoGebra aplet: Stejnolehlost]
[Elica (volně dostupný soubor aplikací především pro podporu stereometrie)]
[Paper models of polyhedra: http://www.korthalsaltes.com]
[1] Odvárko, O., Kadleček, J. Přehled matematiky pro ZŠ a víceletá gymnázia. Prometheus, Praha, 2004.
[2] Kuřina, F. 10 geometrických transformací. Prometheus, Praha, 2002.
[3] Kuřina, F. 10 pohledů na geometrii. Akademie věd České republiky, 1996.
[4] Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Prometheus, Praha.
[5] Pomykalová, E. Matematika pro gymnázia - Planimetrie. Prometheus, Praha, 2008.
[6] Pomykalová, E. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. Prometheus, Praha, 2014.
[7] Jacobs, H. R. Geometry: seeing, doing, understanding. 3rd ed. New York: W.H. Freeman and Co., 2003.
[8] Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.
[9] Vyšín, J. a kol.: Geometrie pro pedagogické fakulty I. díl, SPN, Praha, 1965.
[10] Eukleides, Eukleidovy základy (Elementa), překlad F. Servít, 1907.
Dostupné na https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eukleides_Servit.pdf
[11] učebnice a sbírky úloh pro ZŠ a SŠ.
[12] Fuchs, E., Zelendová, E. Metodické komentáře ke Standardům pro základní vzdělávání: Vzdělávací obor Matematika a její aplikace. NÚV, 2015. [PDF], [https://clanky.rvp.cz/clanek/c/Z/20617/METODICKE-KOMENTARE-K-OBORU-MATEMATIKA-A-JEJI-APLIKACE.html/], str. 74-104.
www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)
Wolfram Demonstrations Project
www.cut-the-knot.org (Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles)
http://www.math.uoc.gr (Geometrikon - galerie geometrických témat)
Roman Hašek, katedra matematiky PF JU, kontakt: hasek@pf.jcu.cz