DVPP: GEOMETRIE 3 - KMA/GE3SŽ

Předmět Geometrie 3 je věnován především detailnímu seznámení s afinními transformacemi. Kromě toho jsou představeny vybrané významné věty z planimetrie a zevrubně probrán pojem mocnosti bodu ke kružnici spolu s jeho využitím v konstrukčních úlohách. V závěru je potom pojednáno o axiomatické výstavbě geometrie a je poskytnut úvod do neeukleidovských geometrií.

Kompletní učební text ve formátu PDF: Hašek: GEOMETRIE 3 (aktualizováno 11. 2. 2018).

Osnova předmětu

• Základní pojmy
  Grupa. Těleso. Vektorový prostor. Afinní bodový prostor. Afinní souřadnice bodů. Eukleidovský bodový prostor. Zobrazení. Dělicí poměr.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Připomenutí vybraných pojmů. Dělicí poměr.
  • LEISCHNER, P.: Geometrická zobrazení (dále uvedeno jenom odkazem [1], viz Literatura): str. 7-16

• Afinní zobrazení
  Dělicí poměr. Definice afinního zobrazení (afinního bodového prostoru A do afinního bodového prostoru A'), jeho vlastnosti a analytické vyjádření. Věta o určenosti afinního zobrazení. Lineární zobrazení (homomorfismus) asociované s afinním zobrazením, jeho definice a analytické vyjádření. Příklady afinních zobrazení. Skládání afinních zobrazení.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením:Afinní zobrazení.
  • [1]: str. 25-36

• Afinity
  Dělicí poměr. Definice afinní transformace prostoru A (afinity). Afinní grupa prostoru A. Věta o určenosti afinity (obecně a konkrétně v E2 a v E3). Analytické vyjádření afinity (obecně a konkrétně v E2 a v E3) a s ní asociovaného lineárního zobrazení.

• Modul afinity
  Analytické vyjádření afinity (obecně a konkrétně v E2 a v E3). Modul afinity a jeho role v definici afinity. Metrické vlastnosti modulu afinity. Přímé a nepřímé afinity. Skládání afinit. Grupa přímých afinit. Ekviafinní afinity (ekviafinity). Grupa ekviafinit.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením:Afinita. Modul afinity. Skládání afinit.
  • Působení afinní transformace roviny: ["Úprava" fotografie]
  • Zdůvodněte platnost tohoto tvrzení: Každé dva trojúhelníky jsou vzájemně afinní, tj. kterýkoliv z nich se zobrazí na ten druhý nějakou afinní transformací roviny.
  • [1]: str. 37-41

• Samodružné body a směry afinního zobrazení
  Definice a určení samodružných bodů a směrů afinního zobrazení. Charakteristická rovnice asociovaného homomorfismu. Vlastní (charakteristické) číslo, vlastní (charakteristický) vektor homomorfismu. Homotetie, grupa homotetií.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Samodružné body a směry afinit. Homotetie.
  • [1]: str. 41-47

• Klasifikace afinit v rovině
  Příklady afinit v eukleidovské rovině. Klasifikace afinit v rovině.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • [1]: str. 57-68
  • Aplety: [Eliptická rotace] [Hyperbolická rotace] [Parabolická rotace]

• Osová afinita
  Určení osové afinity. Charakteristika a rovnice osové afinity. Elace. Základní afinity. Involuce.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Osová afinita.
    Aplety: [Osová afinita] [Středová kolineace]
  • [1]: str. 48-56

• Grupa shodností eukleidovského prostoru
  Grupa shodností prostoru E2, E3, En.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Shodnosti v rovině, Grupa shodností
  • [1]: str. 69-89

• Grupa podobností eukleidovského prostoru
  Grupa podobností prostoru E2, E3, En.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Grupa podobností
  • [1]: str. 89-92

• Stejnolehlost
  Stejnolehlost, skládání stejnolehlostí. Mongeova věta.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Stejnolehlost
    Aplet: [Stejnolehlost]
  • [1]: str. 45-47

• Mocnost bodu ke kružnici
  Definice mocnosti bodu ke kružnici. Vlastnosti mocnosti. Chordála, potenční bod. Využití v konstrukčních úlohách.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Mocnost bodu ke kružnici.
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Power_of_a_point

• Axiomatická výstavba geometrie
  Euklidova a Hilbertova axiomatická soustava, absolutní geometrie.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Axiomatická výstavba geometrie.
  • [12]  PAVLÍČEK, J. B. Základy neeukleidovské geometrie Lobačevského. Přírodovědecké nakladatelství, Praha, 1953. Dostupné na http://dml.cz/dmlcz/402750
    [13]  EUKLEIDES, Eukleidovy základy (Elementa), překlad F. Servít, 1907. Dostupné na https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eukleides_Servit.pdf
    [14]  EUKLEIDES, Základy. Knihy I--IV, V--VI, VII--IX, X, XI--XI., koment. Petrem Vopěnkou, OPS, Nymburk, 2008--2012.

• Neeukleidovské geometrie
  Lobačevského geometrie. Riemannova geometrie. Modely neeukleidovské geometrie.

  STUDIJNÍ MATERIÁLY

  • Text k přednáškám a cvičením: Neeukleidovské geometrie.
  • [12], [13], [14]
  • Lobačevského geometrie: https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry
  • Riemannova geometrie: https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry

• Vybrané věty z planimetrie
  • Menelaova a Cevova věta
    • Text k přednáškám a cvičením: Cevova věta.
    • Menelaova a Cevova věta

  • Kružnice devíti bodů
    • Text k přednáškám a cvičením: Kružnice devíti bodů.
    • Aplet: [Eulerova přímka a kružnice devíti bodů]
    • kružnice devíti bodů

  • Eulerova přímka
    • Text k přednáškám a cvičením: Eulerova přímka.
    • Eulerova přímka

  • Simsonova přímka
    • Text k přednáškám a cvičením: Simsonova přímka.
    • Simsonova přímka

  • Morleyova věta
    • Text k přednáškám a cvičením: Morleyova věta.
    • Morleyova věta.

  • Napoleonova věta
    • Text k přednáškám a cvičením: Napoleonova věta.
    • Napoleonova věta.

Literatura

[1]  LEISCHNER, P.: Geometrická zobrazení, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2010.
[2]  KUŘINA, F.: 10 geometrických transformací, PROMETHEUS, Praha 2002.
[3]  BOČEK, L., SEKANINA, M. a kol.: Geometrie I, SPN, Praha 1988.
[4]  BOČEK, L., SEKANINA, M. a kol.: Geometrie II, SPN, Praha 1988.
[5]  BUDINSKÝ, B.: Analytická a diferenciální geometrie, SNTL, Praha, 1983.
[6]  POMYKALOVÁ, E.: Matematika pro gymnázia: Planimetrie, PROMETHEUS, Praha 2002.
[7]  KUŘINA, F.: 10 pohledů na geomatrii, Akademie věd České republiky, 1996.
[8]  VORÁČOVÁ, Š. a kol.: Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha, 2012.
[9]  PECH, P.: Analytická geometrie lineárních útvarů, České Budějovice, PF JU, 2004.
[10]  PECH, P.: Klasické vs. počítačové metody při řešení úloh v geometrii. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, České Budějovice, 2005.
[11]  HAŠEK, R.: Geometrie 3 (GE3SŽ) - Učební text .
[12]  PAVLÍČEK, J. B. Základy neeukleidovské geometrie Lobačevského. Přírodovědecké nakladatelství, Praha, 1953. Dostupné na http://dml.cz/dmlcz/402750
[13]  EUKLEIDES, Eukleidovy základy (Elementa), překlad F. Servít, 1907. Dostupné na https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eukleides_Servit.pdf
[14]  EUKLEIDES, Základy. Knihy I--IV, V--VI, VII--IX, X, XI--XI., koment. Petrem Vopěnkou, OPS, Nymburk, 2008--2012.
[15]  GATIAL, J., HEJNÝ, M. Stavba Lobačevského planimetrie, Škola mladých matematiků č. 24, Mladá fronta, Praha, 1969. Dostupné na http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/403684
[16]  TOEPELL, M. 100 let „Základů geometrie?: Rozhodující příspěvek Davida Hilberta k formalizaci matematiky, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, vol. 45 (2000), issue 2, pp. 89-97. Dostupné na http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/141025

Internetové odkazy

Software ke stažení

www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)

Materiály pro výuku a sebevzdělávání

i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
www.cut-the-knot.org ... Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles

Požadavky na studenta

Otázky ke zkoušce.