Úrokování
Základní pojmy
Úrok je odměna za dočasnou ztrátu kapitálu, za riziko spojené se změnami tohoto kapitálu (inflací) a za nejistotu, že kapitál nebude splacen v dané lhůtě a výši. Věřitel tedy získává úrok za to, že peníze poskytl dočasně jinému. Z pohledu dlužníka je úrok cena, kterou platí za získání úvěru.
Úroková sazba je úrok v procentech z hodnoty kapitálu za časové období, např. p% p.a. značí roční úrokovou sazbu, p% p.s. pololetní úrokovou sazbu, p% p.q. čtvrtletní, p% p.m. měsíční a p% p.d. denní.
Úrokové období je doba, za kterou se úroky pravidelně připisují.
Doba splatnosti je doba, po kterou je peněžní částka uložena nebo zapůjčena.
Způsoby úročení
- Jednoduché úročení - o něm hovoříme tehdy, jestliže se vyplácené úroky k původnímu kapitálu nepřičítají a dále se neúročí.
- Složené úročení - jedná se o něj v případě, jestliže se úroky připisují k peněžní částce a spolu s ní se dále úročí.
Úročení dle připisování úroků
- úročení polhůtní, kdy se úroky platí na konci úrokového období;
- úročení předlhůtní, kdy k placení úroků dochází na začátku úrokového období.
I. Jednoduché úrokování
1. Jednoduché polhůtní úrokování
Úroky jsou připisovány na konci úrokového období, ale další úrokové období se úročí pouze částka, která byla vložena na účet na počátku, např. vložili jsme částku 10 000 Kč, předpokládáme roční úrokové období, 2% p.a. a 2 roky splatnosti. Po dvou letech obdržíme částku 10 000 + 10 000*0,02 = 10 400 Kč. Obecně:
kde
| K0 | ... | počáteční kapitál, |
| i | ... | roční úroková sazba vyjádřená jako desetinné číslo, |
| n | ... | doba spoření v letech, |
| Kn | ... | výše kapitálu na konci n-tého roku |
| a uvažujeme roční úrokové období | ||
V praxi se dle jednoduchého úrokování řídíme v případě, že 0 < n < 1, tudíž
Při jednoduchém úrokování se používají následující standardy:
- Standard ACT/365 - je založený na skutečném počtu dnů úrokového období t (čitatel) a délce roku 365 (resp. 366) dnů (n=t/365).
- Standard ACT/360 - je založený na skutečném počtu dnů úrokového období t (čitatel) a délce roku 360 dnů (n=t/360).
- Standard 30E/360 - je založený na kombinaci započítávání celých měsíců jako 30 dnů (v čitateli) a délky roku 360 dnů.
2. Diskont
V tomto případě můžeme hovořit o jednoduchém úrokování předlhůtním.
Diskont - odměna ode dne výplaty do dne splatnosti pohledávky (nejčastěji se jedná o eskont směnky). Počítá se na základě příslušné diskontní sazby, která se zpravidla liší od úrokové.
kde
| Kn | ... | nominální hodnota pohledávky, která je splatná za dobu n, |
| Dob | ... | obchodní diskont, |
| d | ... | diskontní sazba jako desetinné číslo, p.a., |
| n | ... | čas od doby výplaty do doby splatnosti pohledávky v letech. |
Po srážce obchodního diskontu bude vyplacena částka
Vztah mezi polhůtní úrokovou sazbou a diskontní sazbou
Při použití diskontu:
Současná hodnota
Budoucí hodnota
Při použití jednoduchého polhůtního úročení:
Současná hodnota
Budoucí hodnota
To znamená, že
3. Produkty spojené s jednoduchým úrokováním
a. Pokladniční poukázka
- krátkodobý cenný papír obchodovatelný většinou na diskontním principu, je dáván do oběhu obvykle státními orgány (ke krytí deficitu státního rozpočtu):
- ministerstvo financí,
- centrální banka.
Pokladniční poukázky jsou vysoce likvidní a mají státní garanci, tudíž je můžeme řadit k bezrizikovým cenným papírům. Vzhledem k nízkému riziku, přináší pokladniční poukázky malé výnosy.
Česká republika
- doba splatnosti 27, 84 a 182 dní (tj.4,12 a 26 týdnů)
- nominální hodnota 1 000 000,- Kč
- obchodování na trhu krátkodobých dluhopisů - organizuje ČNB, účastníci - velké banky
- typy:
- státní pokladniční poukázky SPP - emitent je MF ČR, cena se určuje tzv.holandskou aukcí
- pokladniční poukázky ČNB - emitent ČNB
USA
- doba splatnosti 91, 182, 273 a 365 dní (tj. 13, 26,39 a 52 týdnů)
- nominální hodnota- od 1 000 USD do 1 000 000 USD
- typy: T-bills, T-notes
b. Skonto
- sleva, kterou poskytuje prodávající kupujícímu v případě, že kupující zaplatí zboží okamžitě nebo během dohodnuté krátké lhůty.
c. Běžný účet a kontokorentní úvěr
- běžný účet je účet, který vede banka pro svého klienta za účelem platebního styku. Kontokorentní úvěr - banka připouští, aby stav běžného účtu vykazoval nejen kreditní (tj.kladný) zůstatek , ale také debetní (tj.záporný) zůstatek. Běžný účet se potom nazývá kontokorentní účet (více viz kapitola Běžný účet www stránky Úvod do financí).
Peníze na běžném účtu jsou úročeny na základě jednoduchého úrokování. Vzhledem k tomu, že výše úročeného kapitálu se během roku mění, používají se při výpočtu úroků úroková čísla a úrokový dělitel:
Úrokové číslo:
kde K je stav účtu během t dní.
Úrokový dělitel:
kde p je roční úroková sazba vyjádřená v procentech.
Jednoduchý úrok vypočtený pomocí UD a UC:
V případě, že se stav běžného účtu během roku mění následovně K1, K2, ..., Kn, tzn. K1 je stav účtu na počátku určitého období (tento stav trvá po dobu t1), K2 je stav účtu, který následuje po stavu K1 a trvá po dobu t2 atd. a úroková míra během roku je pořád stejná (ve výši p %), potom úrok z běžného účtu je
kde UCi (i = 1, 2, …, n) je úrokové číslo odpovídající výši kapitálu Ki
během ti dní.
d. Směnky
- viz kapitola Směnky na www stránce Úvod do financí .
Řešené úlohy
Jednoduché úrokování
Úloha 1
Vklad na spořícím účtu vzrostl v průběhu roku za období 16.5. do 28.9. o 20 000 Kč při úrokové sazbě 3,5% p.a. Jaká je jeho výše k 16.5. 2008? Čas počítejte metodou 30E/360.
| Tutorial | Tutorial(PDF) |
Úloha 2
Obchodní banka se rozhodla uložit část svých peněžních rezerv do pokladničních poukázek s celkovou nominální hodnotou 10 000 000 Kč a dobou splatností 182 dní (26 týdnů) nabízených za 9 720 000 Kč. Za 119 dní (17 týdnů) poukázky prodala investiční firmě, která potřebovala 63 dní (tj. 9 týdnů) před plánovanou investicí vhodně umístit připravenou částku a byla ochotna za pokladniční poukázky zaplatit 9 920 000 Kč. Byl prodej pokladničních poukázek pro banku výhodný? Zjistěte roční diskontní míry.
Poznámka: Výnos z pokladniční poukázky se počítá na diskontovaném základě. Přestože tedy znějí například na hodnotu 1 milionu korun, prodávají se tzv. "pod parem", tedy za cenu pod nominální hodnotou. Výnosem je právě rozdíl mezi nominální hodnotou (vyplacenou při splatnosti) a emisní cenou (případně pořizovací cenou).
| Tutorial | Tutorial(PDF) |
Úloha 3
Stav kontokorentního účtu se vyvíjel během roku podle následující tabulky. Úkolem je provést jeho roční uzávěrku, jestliže úvěrový rámec je 30 000 Kč, kreditní úroková míra 0,3%, debetní úroková míra 15,2%, provize za překročení úvěrového rámce 5% a roční poplatek za vedení účtu 400 Kč. Při výpočtech používejte standard ACT/360.
Tabulka: Vývoj kontokorentního účtu
| Datum | Příjmy na účet (v Kč) | Výdaje na účet (v Kč) | Zůstatek (v Kč) |
|---|---|---|---|
| 21. 1. | 1 000 000 | - | 1 000 000 |
| 15. 3. | - | 700 000 | 300 000 |
| 27. 4. | - | 400 000 | -100 000 |
| 28. 6. | 250 000 | - | 150 000 |
| 3. 10. | - | 200 000 | -50 000 |
| 13. 11. | 30 000 | - | -20 000 |
| 5. 12. | 500 000 | - | 480 000 |
| 31. 12. | - | - | 480 000 |
| Tutorial | Tutorial(PDF) |
Složené úrokování
Úloha 1 – Klasický termínovaný vklad s dobou splatnosti 3 roky
Podnikatel uložil na klasický termínovaný vklad částku 300 000 Kč. Jaká bude výše kapitálu za 3 roky, jestliže úroková sazba činí 2% p.a. a je:
- roční úrokové období,
- pololetní úrokové období,
- čtvrtletní úrokové období?
Úroky jsou připisovány k vkladu a dále s vkladem úročeny.
| Tutorial | Tutorial(PDF) | Maplet | Maple code |
Úloha 2 – Garantovaný podílový dluhopisový fond
Podnikatel uložil do garantovaného podílového dluhopisového fondu částku 300 000 Kč. V minulých letech byla průměrná výnosnost tohoto fondu 20%, přičemž minimální doba splatnosti je 5 let. Předpokládejme, že výnosnost nebo-li úroková sazba se po dobu 5 let nebude měnit. Důvodem neměnné sazby je, že na vydání dluhopisů tohoto fondu jsou zainteresované významné evropské společnosti, u kterých se předpokládá pro danou dobu ekonomický růst. Jaký je čistý zisk podnikatele po 5 letech, jestliže víme, že úroky z vkladů podléhají dani z příjmů vybírané srážkou ve výši 15%?
| Tutorial | Tutorial(PDF) | Maplet | Maple code |
Úloha 3 – Rozhodování o investičních variantách
Máme k dispozici částku 200 000,-Kč, kterou můžeme postrádat po dobu 5 let. Tyto peníze chceme během těchto 5 let zhodnotit, přičemž se rozhodujeme mezi následujícími variantami.
- Peníze uložíme na klasický termínovaný vklad na dobu 5 let při neměnné úrokové sazbě 2,5% a ročním připisování úroků nebo
- je vložíme do garantovaného podílového fondu s tím, že s velkou pravděpodobností bude 1 rok výnosnost 5% a další roky postupně 3%, 1%, 0% a 0%.
Která z těchto variant je pro nás výhodnější?
| Tutorial | Tutorial(PDF) | Maplet | Maple code |
Jiné úrokování
Úloha 1
Rodina V. si chce pořídit automobil v hodnotě 750 000 Kč. Má k dispozici částku 650 000 Kč,
kterou uloží na spořící účet s úrokovou sazbou 3,5% p.a.Za jakou dobu (vypočtěte přesně na
dny od začátku kalendářního roku) ušetří na nový automobil? Předpokládejme, že se cena automobilu nebude v průběhu 5 let měnit.
a) Neuvažujme daň z úroku.
b) Uvažujme daň z úroku ve výši 15%.
| Tutorial | Tutorial(PDF) |
Úloha 2
Investiční firma má k dispozici částku 5 000 000 Kč, kterou může na určitou dobu postrádat.
Rozhodla se na tuto dobu peníze uložit na termínovaný účet u banky, která nabízí dva následující typy účtů:
a) Účet s 4% roční úrokovou sazbou s denním připisováním
b) Účet s 4,3% roční úrokovou sazbou se čtvrtletním připisováním
Kterému účtu dáme přednost? Při výpočtu užijte efektivní úrokovou sazbu.
| Tutorial | Tutorial(PDF) |