DVPP: GEOMETRIE II - KMA/GE2ZŽ

Předmět Geometrie II je věnován detailnímu seznámení s afinními zobrazeními - shodnostmi a podobnostmi v rovině a prostoru. Zvláštní pozornost je věnována jejich užití při řešení konstrukčních úloh.

Osnova předmětu

Kompletní učební text ve formátu PDF: CŽV ZŠ: Geometrie 2 (1. díl).

• Afinní bodový prostor. Dělicí poměr.
  

  PŘEDNÁŠKA 1-2 Připomenutí vybraných pojmů. Ukázky zobrazení v rovině: [Stejnolehlost] [Osová afinita] [Středová kolineace] [Kruhová inverze] Afinní zobrazení. Dělící poměr. Barycentrické souřadnice. Působení afinní transformace roviny: ["Úprava" fotografie]

  CVIČENÍ 1-2 Afinní zobrazení. Věta o určenosti afinního zobrazení v rovině (afinity) - naznačení důkazu Působení afinní transformace roviny: ["Úprava" fotografie ]

• Shodnosti v E2.
  • Shodná zobrazení v rovině.
  • Osová souměrnost.

  PŘEDNÁŠKA 3-4 Shodná zobrazení v rovině

  CVIČENÍ 3-4 Definice shodného zobrazení. Důkaz věty o určenosti shodnosti v rovině [Určenost shodnosti v rovině]

  • Otočení.
    

  PŘEDNÁŠKA 5-6 Osová souměrnost. Otočení.

  CVIČENÍ 5-6 Úlohy na osovou souměrnost. [Fagnanův problém I - GeoGebra Tube] [Fagnanův problém II - GeoGebra Tube] Příklad (Mascheroniova konstrukce): Je dána kružnice k(S;r); dále je dána dvěma body A>, B (body neleží na kružnici) její sečna p, která neprochází středem S. Sestrojte průsečíky přímky p s kružnicí k, aniž přitom použijete pravítka. [Aplet pro provedení konstrukce] [Řešení] Úlohy na otočení. [Řešení úlohy 28 - GeoGebra Tube]

  • Středová souměrnost.
  • Posunutí.

  PŘEDNÁŠKA 7 Středová souměrnost. Úkol: S využitím uvedených apletů promyslete důkaz tvrzení "Každá shodnost se dá složit z nejvýše tří osových souměrností". Aplety: [přímá shodnost] [nepřímá shodnost] Posunutí.

  CVIČENÍ 7 Úlohy na středovou souměrnost. Úlohy na posunutí.

  • Posunuté zrcadlení.

  PŘEDNÁŠKA 8 Posunuté zrcadlení.

  CVIČENÍ 8 Úlohy na posunuté zrcadlení. [Zobrazení úsečky v posunutém zrcadlení]

• Podobnosti v E₂.
  • Stejnolehlost. Skládání stejnolehlostí, Mongeova věta.
    

  PŘEDNÁŠKA 9 Podobné zobrazení. Stejnolehlost. Skládání stejnolehlostí. Stejnolehlost kružnic. Aplety: [Příklad 5.3 (bod-přímka-kružnice)] [Příklad 5.4 (bod-přímka-přímka)] [Příklad 5.5 (kružnice-přímka-přímka)] [Mongeova věta] [Eulerova přímka a kružnice devíti bodů]

  CVIČENÍ 9 Úlohy na stejnolehlost.

• Mocnost bodu ke kružnici.

  PŘEDNÁŠKA 11 Mocnost bodu ke kružnici.

  CVIČENÍ 11 Příklad 5.1: Sestrojte kružnici k, která prochází danými body A ≠ B a dotýká se dané přímky p. Aplet s řešením:[Mocnost bodu ke kružnici - užití v konstrukční úloze.] Úlohy na mocnost bodu ke kružnici.

• Afinní zobrazení a jeho vlastnosti. Asociovaný homomorfismus. Analytické vyjádření afinního zobrazení. Skládání afinních zobrazení. Modul afinity. Rovnice shodnosti.
• Analytické vyjádření shodnosti. Samodružné body a směry. Skládání shodností.
• Klasifikace shodností v E2 a E3.

PŘEDNÁŠKA 12 / CVIČENÍ 12 Afinní zobrazení. Analytické vyjádření afinního zobrazení. Afinita. Modul afinity. Skládání afinních zobrazení. Afinní grupa. Samodružné body a směry afinity. Analytické vyjádření shodností. Klasifikace shodností. Skládání shodných zobrazení. Grupa shodností.

• Osová ofinita. Osová afinita jako zobecnění osové souměrnosti.
  
• Podobnosti. Klasifikace podobností v E2.
• Cevova věta.

  PŘEDNÁŠKA 13 / CVIČENÍ 13 Osová ofinita. Osová afinita jako zobecnění osové souměrnosti. [Rovnoběžné promítání] [Osová afinita] Příklad: Je dána přímka o a trojúhelník ABC. Sestrojte obraz A'B'C' trojúhelníku ABC v takové osové afinitě, aby byl trojúhelník A'B'C' rovnostranný. [Řešení v programu GeoGebra] Podobnosti. Klasifikace podobností v E2. Cevova věta.

• Vybrané věty z planimetrie
  • Menelaova a Cevova věta
    • Text: Cevova věta.
    • Menelaova a Cevova věta

  • Kružnice devíti bodů
    • Text: Kružnice devíti bodů.
    • Aplet: [Eulerova přímka a kružnice devíti bodů]
    • kružnice devíti bodů

  • Eulerova přímka
    • Text: Eulerova přímka.
    • Eulerova přímka

  • Simsonova přímka
    • Text: Simsonova přímka.
    • Simsonova přímka

  • Morleyova věta
    • Text: Morleyova věta.
    • Morleyova věta.

  • Napoleonova věta
    • Text: Napoleonova věta.
    • Napoleonova věta.

Literatura

[1]  Sekanina, M. a kol.: Geometrie II, SPN, Praha 1988.
[2]  Sekanina, M. a kol.: Geometrie I, SPN, Praha 1988.
[3]  Kuřina, F.: 10 geometrických transformací. Prometheus, Praha, 2002.
[4]  Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983.
[5]  Pomykalová, E., Matematika pro gymnázia - Planimetrie. Prometheus, Praha, 2008.
[6]  Kuřina, F.: 10 pohledů na geomatrii. Akademie věd České republiky, 1996.
[7]  Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.
[8]  Pech, P., Analytická geometrie lineárních útvarů, České Budějovice, PF JU, 2004.
[9]  Hašek, R., Text k přednáškám GEO2 - LS 2016.

Internetové odkazy

Software ke stažení

www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)

Materiály pro výuku a sebevzdělávání

i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
www.cut-the-knot.org ... Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
http://www.math.uoc.gr ... Geometrikon - galerie geometrických témat

Požadavky na studenta

• Zkouška.
  • Písemná a ústní zkouška v rozsahu probíraného učiva.
    Otázky ke zkoušce. Vzorové příklady. [Vzorový test]