PLANIMETRIE - KMA/PLA |
Předmět Planimetrie je věnován detailnímu seznámení s afinními transformacemi roviny, především se shodnostmi a podobnostmi, a s jejich použitím v konstrukčních úlohách.
CVIČENÍ 1
Zaregistrujte se na stránkách www.google.com a www.geogebratube.org. Doma si nainstalujte program GeoGebra (www.geogebra.org). Příklad 1: Sestrojte libovolný čtyřúhelník KLMN a určete středy O, P, Q, R jeho stran. Jaký obrazec vznikne jejich spojením? Formulujte hypotézu a dokažte ji. Domácí úkol 1: V programu GeoGebra sestrojte trojúhelník ABC, opište mu kružnici ko a vepište mu kružnici kv. |
PŘEDNÁŠKA 1 |
CVIČENÍ 2 (Geometrické zobrazení, Dělicí poměr)
Příklad 1: Pomocí programu GeoGebra vyzkoumejte, zda se v následujících zobrazeních zobrazí střed úsečky zase na střed úsečky: stejnolehlost, osová afinita, středová kolineace, kruhová inverze.
|
PŘEDNÁŠKA 2
Afinní zobrazení. Dělicí poměr.
Příklad 1: Přímka p je dána body A a B. Jaký je rozdíl v tom, když určíme polohu bodu C na této přímce
Příklad 2: Určete dělicí poměr (ABS) středu S úsečky AB vzhledem k jejím krajním bodům A, B. |
CVIČENÍ 3 (Rovnice afinního zobrazení)
Příklad 1: Pro body A, B, C platí (ABC)=λ. Zapište pomocí λ dělicí poměry (BAC), (CBA), (ACB), (CAB) a (BCA). Příklad 2: V rovině jsou dány dva pevné body A, B. Určete množinu všech bodů X této roviny, pro které platí |AX|/|BX|=k, kde k je reálné číslo. [Řešení v GeoGebře] Příklad 3: Pomocí appletu "Úprava" fotografie zapište maticové rovnice následujících zobrazení: (i) osová souměrnost podle osy y, (ii) středová souměrnost podle počátku, (iii) středová souměrnost se středem v bodě [0,5]. |
PŘEDNÁŠKA 3
Afinní transformace roviny - Afinita.
[Afinní transformace roviny: "Úprava" fotografie]
Příklad 1: Dokažte Větu 2 (věta o určenosti afinního zobrazení v rovině) z přednášky. Řešení: algebraický důkaz Příklad 2: Řešte Příklad 3.2 z přednášky. |
CVIČENÍ 4 (Osová souměrnost)
Příklad 1: Je dána přímka p a body A, B v téže polorovině s hraniční přímkou p. Najděte všechny body X ∈ p takové, že součet vzdáleností |AX|+|BX| je minimální.
Vivianiho věta: Součet vzdáleností libovolného bodu v rovnostranném trojúhelníku od jeho stran je roven výšce tohoto trojúhelníku.
Fermatův bod: Bod, pro který je součet jeho vzdáleností od vrcholů trojúhelníku minimální. Domácí úkol 2: V programu GeoGebra ověřte platnost tvrzení, že body souměrně sdružené s průsečíkem výšek podle stran trojúhelníka, leží na kružnici trojúhelníku opsané (Poznámka: Takovéto ověření nelze považovat za důkaz, ten si provedeme na následujícím cvičení.). |
PŘEDNÁŠKA 4
Analytické vyjádření shodností.
|
CVIČENÍ 5 (Osová souměrnost)
Příklad 1: Dokažte tvrzení, že body souměrně sdružené s průsečíkem výšek podle stran trojúhelníka, leží na kružnici trojúhelníku opsané. |
PŘEDNÁŠKA 5 |
CVIČENÍ 6 (Osová souměrnost)
Fagnanův problém: Danému ostroúhlému trojúhelníku vepište trojúhelník o nejmenším obvodu. Příklad 1: Výpočtem určete samodružné body a směry vybraných shodností.
Domácí úkol 3: Řešením Fagnanova problému je tzv. ortický trojúhelník.
Sestrojte v GeoGebře libovolný ostroúhlý trojúhelník ABC a vepište mu ortický trojúhelník EFG. Potom |
PŘEDNÁŠKA 6
Analytické vyjádření shodností - Samodružné body a směry Příklad 1: Rozhodněte, zda afinita f daná rovnicemi x' = -4/5x + 3/5y + 8, y' = 3/5x + 4/5y -6 je shodností. Pokud ano, určete její samodružné body a směry. Rozhodněte, zda se jedná o shodnost přímou či nepřímou. [Řešení příkladu 4.2 (samodružné body a směry) v programu wxMaxima] |
CVIČENÍ 7 (Osová souměrnost) |
PŘEDNÁŠKA 7 |
CVIČENÍ 8
Příklad (Mascheroniova konstrukce):
Je dána kružnice k(S;r); dále je dána dvěma body A, B (body neleží na kružnici) její sečna p, která neprochází středem S. Sestrojte průsečíky přímky p s kružnicí k, aniž přitom použijete pravítka.
|
PŘEDNÁŠKA 8 |
CVIČENÍ 9
Příklad: Dokažte následující větu: V každém trojúhelníku dělí osa libovolného vnitřního úhlu protější stranu v poměru stran přilehlých. |
PŘEDNÁŠKA 9
Úkol: S využitím uvedených apletů promyslete důkaz tvrzení "Každá shodnost se dá složit z nejvýše tří osových souměrností".
|
CVIČENÍ 10
Posunutí - úlohy k řešení.
Domácí úkol 4: Je dána úsečka AA1 (|AA1|=5cm). Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je AA1 těžnicí ta a pro které platí: γ=45°, β=60°. |
PŘEDNÁŠKA 10
Skládání shodností. Shodnosti přímé a nepřímé. Grupa shodností. |
CVIČENÍ 11
Úlohy na shodnosti v rovině - Vzorové příklady KMA/PLA 2015 |
PŘEDNÁŠKA 11
Klasifikace shodností v rovině.
|
PŘEDNÁŠKA 12
Podobné zobrazení.
|
CVIČENÍ 13
Stejnolehlost kružnic.
|
PŘEDNÁŠKA 13 |
PŘEDNÁŠKA 14
Osová afinita. Osová afinita (prezentace)
Dynamické znázornění principu rovnoběžného promítání a osové afinity:
[Rovnoběžné promítání]
[Osová afinita]
Příklad: Je dána přímka o a trojúhelník ABC. Sestrojte obraz A'B'C' trojúhelníku ABC v takové osové afinitě, aby byl trojúhelník A'B'C' rovnostranný. [Řešení v programu GeoGebra] Domácí úkol 5: V programu GeoGebra řešte následující úlohu: Jsou dány kružnice k1, k2, které mají různé poloměry a nemají společný žádný bod. Sestrojte středy stejnolehlostí, v nichž se jedna kružnice zobrazuje na druhou a potom, užitím Thaletovy kružnice, sestrojte společné tečny těchto kružnic. |
[1] Sekanina, M. a kol.: Geometrie II, SPN, Praha 1988.
[2] Pomykalová, E., Matematika pro gymnázia - Planimetrie. Prometheus, Praha, 2008.
[3] Kuřina, F.: 10 geometrických transformací. Prometheus, Praha, 2002.
[4] Sekanina, M. a kol.: Geometrie I, SPN, Praha 1988.
[5] Leischner, P. Geometrická zobrazení, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2010.
[6] Pech, P., Klasické vs. počítačové metody při řešení úloh v geometrii, České Budějovice, PF JU, 2005.
[7] Kuřina, F.: 10 pohledů na geometrii. Akademie věd České republiky, 1996.
[8] Audin, M.: Geometry, Springer, 2003.
[9] Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983.
[10] Pech, P., Analytická geometrie lineárních útvarů,
České Budějovice, PF JU, 2004.
[11] Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.
[12] Vyšín, J. . a kol.: Geometrie pro pedagogické fakulty II, Bratislava, 1970.
[13] Eukleides, Eukleidovy základy (Elementa), překlad F. Servít, 1907.
Dostupné na https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eukleides_Servit.pdf
www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)
i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
www.cut-the-knot.org ... Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
http://www.math.uoc.gr ... Geometrikon - galerie geometrických témat
Roman Hašek, katedra matematiky PF JU, kontakt: hasek@pf.jcu.cz