DVPP: PLANIMETRIE - KMA/PLZŽ |
Předmět Planimetrie je věnován detailnímu seznámení s afinními transformacemi roviny, především se shodnostmi a podobnostmi, a s jejich použitím v konstrukčních úlohách.
Kompletní učební text ve formátu PDF: Hašek: PLANIMETRIE - KMA/PLA.
CVIČENÍ 1
Zaregistrujte se na stránce geogebra.org a nainstalujte si na svůj počítač program GeoGebra. Varignonova věta: Středy stran libovolného čtyřúhelníku tvoří rovnoběžník. (Pierre Varignon, 1654-1722) Příklad 1: Sestrojte libovolný čtyřúhelník KLMN a středy jeho stran O, P, Q, R. Ověřte pravdivost tvrzení Varignonovy věty a pokuste se ji dokázat. Potom vyslovte hypotézu o vztahu obsahů čtyřúhelníku KLMN a rovnoběžníku OPQR. Domácí úkol č. 1: V programu GeoGebra sestrojte trojúhelník ABC, sestrojte jeho výšky a opište mu kružnici ko. Potom postupně zobrazte průsečík výšek O (ortocentrum) v osových souměrostech s osami AB, BC a CA. Vyslovte hypotézu o polohách těchto bodů. Potom se pokuste toto tvrzení dokázat. |
PŘEDNÁŠKA 1
Úvod. Zopakování základních pojmů. Geometrická zobrazení. Prémiový úkol č. 1: Uvažujte Varignonovu větu. Dokažte, že obsah uvedeného čtyřúhelníku je dvojnásobkem obsahu rovnoběžníku tvořeného středy jeho stran. (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
CVIČENÍ 2 (Geometrické zobrazení, Dělicí poměr)
Příklad 1: Pomocí programu GeoGebra vyzkoumejte, zda se v následujících zobrazeních zobrazí střed úsečky zase na střed úsečky: stejnolehlost, osová afinita, středová kolineace, kruhová inverze.
|
PŘEDNÁŠKA 2
Afinní zobrazení. Dělicí poměr.
Příklad 1: Přímka p je dána body A a B. Jaký je rozdíl v tom, když určíme polohu bodu C na této přímce
Příklad 2: Určete dělicí poměr (ABS) středu S úsečky AB vzhledem k jejím krajním bodům A, B. Prémiový úkol č. 2: Libovolný trojúhelník ABC je svými středními příčkami rozdělen na 4 trojúhelníky, viz obrázek (trojúhelník A1B1C1 nazýváme příčkový trojúhelník). Vyslovte tvrzení o vztahu těchto trojúhelníků navzájem i vzhledem k trojúhelníku ABC. Zaměřte se konkrétně na vztahy shodnosti, podobnosti a na poměry obsahů. Svá tvrzení dokažte. (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
CVIČENÍ 3 (Rovnice afinního zobrazení)
Příklad 1: Pro body A, B, C platí (ABC)=λ. Zapište pomocí λ dělicí poměry (BAC), (CBA), (ACB), (CAB) a (BCA). Příklad 2: V rovině jsou dány dva pevné body A, B. Určete množinu všech bodů X této roviny, pro které platí |AX|/|BX|=k, kde k je reálné číslo. [Řešení v GeoGebře] Příklad 3: Pomocí appletu "Úprava" fotografie zapište maticové rovnice následujících zobrazení: (i) osová souměrnost podle osy y, (ii) středová souměrnost podle počátku, (iii) středová souměrnost se středem v bodě [0,5]. |
PŘEDNÁŠKA 3
Afinní transformace roviny - Afinita.
[Afinní transformace roviny: "Úprava" fotografie]
Příklad 1: Dokažte Větu 2 (věta o určenosti afinního zobrazení v rovině) z přednášky. Řešení: algebraický důkaz Příklad 2: Řešte Příklad 3.2 z přednášky. Prémiový úkol č. 3: V libovolném lichoběžníku ABCD označme průsečík jeho úhlopříček E, viz obrázek. Potom trojúhelníky ADE a BCE mají shodné obsahy. Dokažte! (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
CVIČENÍ 4 (Osová souměrnost)
Příklad 1: Je dána přímka p a body A, B v téže polorovině s hraniční přímkou p. Najděte všechny body X ∈ p takové, že součet vzdáleností |AX|+|BX| je minimální. (Tato úloha je známa jako Heronův problém; Hérón Alexandrijský, přibl. 10-70 n.l.) |
PŘEDNÁŠKA 4
Analytické vyjádření shodností.
Prémiový úkol č. 4: Pro libovolný čtverec ABCD s vrcholem A na ose y a s k němu sousedním vrcholem B na ose x platí, že souřadnice jeho středu S (viz obrázek) jsou buď čísla shodná nebo opačná. Dokažte! (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
CVIČENÍ 5 (Osová souměrnost)
Vivianiho věta: Součet vzdáleností libovolného bodu v rovnostranném trojúhelníku od jeho stran je roven výšce tohoto trojúhelníku.
Fermatův bod: Bod, pro který je součet jeho vzdáleností od vrcholů trojúhelníku minimální. Řešení domácího úkolu č. 1: Body souměrně sdružené s průsečíkem výšek podle stran trojúhelníka, leží na kružnici trojúhelníku opsané: [Důkaz využívající podobnosti trojúhelníků]
Vztah mezi velikostí obvodového a středového úhlu.
Domácí úkol č. 2: Jsou dány dvě různoběžky p, q a bod A mimo ně. Najděte body B ∈ p, C ∈ q tak, aby obvod trojúhelníku ABC byl minimální. Sestrojte rozbor úlohy (tj. náčrtek přibližné podoby řešení) v GeoGebře a pokuste se navrhnout postup řešení. |
PŘEDNÁŠKA 5
Analytické vyjádření shodností - Samodružné body a směry Prémiový úkol č. 5: V libovolném lichoběžníku ABCD označme průsečík jeho úhlopříček E a veďme tímto bodem příčku FG rovnoběžnou s jeho základnami, viz obrázek. Potom bod E je středem této příčky. Dokažte! (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
CVIČENÍ 6 (Osová souměrnost)
Příklad 1: Rozhodněte, zda afinity dané uvedenými rovnicemi jsou shodnosti.
Pokud ano, určete jaké (Využijte při tom samodružné body a směry těchto afinit).
Domácí úkol 3: Řešte Příklad 1 c. |
PŘEDNÁŠKA 6
Analytické vyjádření shodností - Samodružné body a směry [Řešení příkladu 4.2 (samodružné body a směry) v programu wxMaxima] Prémiový úkol č. 6: Na obrázku vidíme obrazec, který vznikne spojením větší půlkružnice s dvěma menšími stejně velkými půlkružnicemi. Dokažte, že každá přímka p jdoucí bodem O rozděluje obvod tohoto obrazce na dvě stejné části! (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
CVIČENÍ 7 (Osová souměrnost)
Osová souměrnost - úlohy k řešení.
Fagnanův problém: Danému ostroúhlému trojúhelníku vepište trojúhelník o nejmenším obvodu.
Domácí úkol 4: Řešením Fagnanova problému je tzv. ortický trojúhelník.
Sestrojte v GeoGebře libovolný ostroúhlý trojúhelník ABC a vepište mu ortický trojúhelník EFG. Potom |
PŘEDNÁŠKA 7
Prémiový úkol č. 7: Jsou dány body P, Q a přímka l, přitom body P, Q leží v opačných polorovinách vzhledem k l. Najděte bod T na přímce l tak, aby absolutní hodnota rozdílu vzdáleností ||PT|-|TQ|| byla pro dané body P, Q maximální (tj. největší možná). (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
CVIČENÍ 8
Příklad (Mascheroniova konstrukce):
Je dána kružnice k(S;r); dále je dána dvěma body A, B (body neleží na kružnici) její sečna p, která neprochází středem S.
Sestrojte průsečíky přímky p s kružnicí k, aniž přitom použijete pravítka.
(Lorenzo Mascheroni, 1750-1800,
Georg Mohr, 1640-1697,
Mascheroni Construction)
|
PŘEDNÁŠKA 8
Prémiový úkol č. 8: Libovolný trojúhelník je svými těžnicemi rozdělen na šest trojúhelníků se stejnými obsahy, viz obrázek. Dokažte! (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
CVIČENÍ 9
Příklad: Dokažte následující větu: V každém trojúhelníku dělí osa libovolného vnitřního úhlu protější stranu v poměru stran přilehlých. |
PŘEDNÁŠKA 9
Úkol: S využitím uvedených apletů promyslete důkaz tvrzení "Každá shodnost se dá složit z nejvýše tří osových souměrností".
Prémiový úkol č. 9: Nad stranami AC a BC trojúhelníku ABC jsou sestrojeny čtverce ACDE a BFGC, viz obrázek. Potom poloha středu M úsečky EF nezávisí na umístění vrcholu C (tj. bod M nemění při pohybu bodu C svou polohu). Dokažte! (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
CVIČENÍ 10
Posunutí - úlohy k řešení.
Domácí úkol 4: Je dána úsečka AA1 (|AA1|=5cm). Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je AA1 těžnicí ta a pro které platí: γ=45°, β=60°. |
PŘEDNÁŠKA 10
Skládání shodností. Shodnosti přímé a nepřímé. Grupa shodností. Prémiový úkol č. 10: Jestliže jedna z úhlopříček dělí čtyřúhelník na dva trojúhelníky shodných obsahů, potom půlí druhou úhlopříčku. A naopak, pokud jedna z úhlopříček půlí druhou úhlopříčku, potom rozděluje čtyřúhelník na dva trojúhelníky shodných obsahů. Dokažte! (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
CVIČENÍ 11
Úlohy na shodnosti v rovině - Vzorové příklady KMA/PLA 2015 |
PŘEDNÁŠKA 11
Klasifikace shodností v rovině.
Prémiový úkol č. 11: Dort ve tvaru kvádru s čtvercovým půdorysem je po stranách a nahoře pokryt marcipánovým potahem, viz obrázek. Navrhněte postup, jak tento dort rozdělit na 7 dílů téhož objemu tak, aby každý obsahoval stejné množství chutného potahu. (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
PŘEDNÁŠKA 12
Podobné zobrazení.
Podobnosti eukleidovské roviny. Prémiový úkol č. 12: Jestliže má tětivový čtyřúhelník (tj. čtyřúhelník vepsaný do kružnice) vzájemně kolmé úhlopříčky, které se protínají v bodě E, přímka jdoucí bodem E kolmo k libovolné jeho straně půlí protilehlou stranu, viz obrázek. Dokažte! (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
CVIČENÍ 13
Stejnolehlost kružnic.
|
PŘEDNÁŠKA 13 |
PŘEDNÁŠKA 14
Osová afinita. Osová afinita (prezentace)
Dynamické znázornění principu rovnoběžného promítání a osové afinity:
[Rovnoběžné promítání]
[Osová afinita]
Příklad: Je dána přímka o a trojúhelník ABC. Sestrojte obraz A'B'C' trojúhelníku ABC v takové osové afinitě, aby byl trojúhelník A'B'C' rovnostranný. [Řešení v programu GeoGebra] Domácí úkol 5: V programu GeoGebra řešte následující úlohu: Jsou dány kružnice k1, k2, které mají různé poloměry a nemají společný žádný bod. Sestrojte středy stejnolehlostí, v nichž se jedna kružnice zobrazuje na druhou a potom, užitím Thaletovy kružnice, sestrojte společné tečny těchto kružnic. |
[1] Sekanina, M. a kol.: Geometrie II, SPN, Praha 1988.
[2] Pomykalová, E., Matematika pro gymnázia - Planimetrie. Prometheus, Praha, 2008.
[3] Kuřina, F.: 10 geometrických transformací. Prometheus, Praha, 2002.
[4] Sekanina, M. a kol.: Geometrie I, SPN, Praha 1988.
[5] Leischner, P. Geometrická zobrazení, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2010.
[6] Pech, P., Klasické vs. počítačové metody při řešení úloh v geometrii, České Budějovice, PF JU, 2005.
[7] Kuřina, F.: 10 pohledů na geometrii. Akademie věd České republiky, 1996.
[8] Audin, M.: Geometry, Springer, 2003.
[9] Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983.
[10] Pech, P., Analytická geometrie lineárních útvarů,
České Budějovice, PF JU, 2004.
[11] Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.
[12] Vyšín, J. . a kol.: Geometrie pro pedagogické fakulty II, Bratislava, 1970.
[13] Eukleides, Eukleidovy základy (Elementa), překlad F. Servít, 1907.
Dostupné na https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eukleides_Servit.pdf
www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)
i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
www.cut-the-knot.org ... Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
http://www.math.uoc.gr ... Geometrikon - galerie geometrických témat
Roman Hašek, katedra matematiky PF JU, kontakt: hasek@pf.jcu.cz