PLANIMETRIE - KMA/PLA |
Předmět Planimetrie je věnován detailnímu seznámení s afinními transformacemi roviny, především se shodnostmi a podobnostmi, a s jejich použitím v konstrukčních úlohách.
Kompletní učební text ve formátu PDF: Hašek: PLANIMETRIE - KMA/PLA (aktualizováno 9. 4. 2018).
PŘEDNÁŠKA 1
Úvod. Zopakování základních pojmů. Geometrická zobrazení.
Příklad 1: Pomocí programu GeoGebra vyzkoumejte, zda se v následujících zobrazeních zobrazí střed úsečky zase na střed úsečky: stejnolehlost, osová afinita, středová kolineace, kruhová inverze.
|
CVIČENÍ 1
Zaregistrujte se na stránce geogebra.org a nainstalujte si na svůj počítač program GeoGebra. Varignonova věta: Středy stran libovolného čtyřúhelníku tvoří rovnoběžník. (Pierre Varignon, 1654-1722) Příklad 1: Užitím programu GeoGebra sestrojte libovolný čtyřúhelník KLMN a středy jeho stran O, P, Q, R. Ověřte pravdivost tvrzení Varignonovy věty a pokuste se ji dokázat. Potom vyslovte hypotézu o vztahu obsahů čtyřúhelníku KLMN a rovnoběžníku OPQR.
Prémiový úkol č. 1: Uvažujte Varignonovu větu. Dokažte, že obsah uvedeného čtyřúhelníku je dvojnásobkem obsahu rovnoběžníku tvořeného středy jeho stran. (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
PŘEDNÁŠKA 2
Afinní zobrazení. Dělicí poměr.
Příklad 1: Přímka p je dána body A a B. Jaký je rozdíl v tom, když určíme polohu bodu C na této přímce
Příklad 2: Určete dělicí poměr (ABS) středu S úsečky AB vzhledem k jejím krajním bodům A, B. Prémiový úkol č. 2: Nechť ABC je libovolný pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu A. Dokažte, že bod A, pata A0 výšky sestrojené z bodu A a středy Sa, Sb a Sc stran trojúhelníku ABC leží na společné kružnici, viz obrázek. (Podmínky řešení prémiových příkladů viz Požadavky) |
CVIČENÍ 2 (Geometrické zobrazení, Dělicí poměr)
Domácí úkol č. 1: Na volný papír narýsujte trojúhelník ABC, sestrojte jeho výšky a jejich průsečík označte O (ortocentrum). Potom postupně zobrazte bod O v osových souměrostech s osami AB, BC a CA. Vyslovte hypotézu o polohách těchto bodů. |
PŘEDNÁŠKA 3
Afinní transformace roviny - Afinita.
[Afinní transformace roviny: "Úprava" fotografie]
Příklad 1: Dokažte Větu 2 (věta o určenosti afinního zobrazení v rovině) z přednášky. Řešení: algebraický důkaz Příklad 2: Řešte Příklad 3.2 z přednášky. Prémiový úkol č. 3: Podle levého obrázku rozstřiháme čtverec o straně 8 cm na čtyři části, z nichž sestavíme obrazec ve tvaru obdélníku vpravo. Jeho rozměry jsou 13 cm × 5 cm. Porovnáme-li obsahy obou obrazců, čtverce a obdélníku, zjistíme, že se liší o 1 cm2. Čtverec má obsah 64 cm2, obdélník pak 65 cm2. Jak mohl tento rozdíl vzniknout? Vysvětlete! |
CVIČENÍ 3 (Rovnice afinního zobrazení)
Příklad 1: Pro body A, B, C platí (ABC)=λ. Zapište pomocí λ dělicí poměry (BAC), (CBA), (ACB), (CAB) a (BCA). Příklad 2: V rovině jsou dány dva pevné body A, B. Určete množinu všech bodů X této roviny, pro které platí |AX|/|BX|=k, kde k je reálné číslo. [Řešení v GeoGebře] Příklad 3: Pomocí appletu "Úprava" fotografie zapište maticové rovnice následujících zobrazení: (i) osová souměrnost podle osy y, (ii) středová souměrnost podle počátku, (iii) středová souměrnost se středem v bodě [0,5]. |
PŘEDNÁŠKA 4
Analytické vyjádření shodností.
Prémiový úkol č. 4: U libovolného trojúhelníku se stranami a, b, c označme k, l, m úsečky spojující vnější vrcholy čtverců sestrojených nad těmito stranami, viz obrázek. Dokažte, že platí |
CVIČENÍ 4 (Osová souměrnost)
Příklad 1: Je dána přímka p a body A, B v téže polorovině s hraniční přímkou p. Najděte všechny body X ∈ p takové, že součet vzdáleností |AX|+|BX| je minimální. (Tato úloha je známa jako Heronův problém; Hérón Alexandrijský, přibl. 10-70 n.l.) |
PŘEDNÁŠKA 5
Analytické vyjádření shodností - Samodružné body a směry Prémiový úkol č. 5: Tečnovým čtyřúhelníkem rozumíme čtyřúhelník, kterému lze vepsat kružnici (tj. jeho strany jsou tečnami této kružnice). Dokažte, že pro libovolný tečnový čtyřúhelník ABCD se stranami a, b, c, d, viz obrázek, platí |
CVIČENÍ 5 (Osová souměrnost)
Řešení domácího úkolu č. 1: Body souměrně sdružené s průsečíkem výšek podle stran trojúhelníka, leží na kružnici trojúhelníku opsané: [Důkaz využívající podobnosti trojúhelníků]
Vztah mezi velikostí obvodového a středového úhlu.
Vivianiho věta: Součet vzdáleností libovolného bodu v rovnostranném trojúhelníku od jeho stran je roven výšce tohoto trojúhelníku. |
Prémiový úkol č. 6: Dokažte, že pro libovolný trojúhelník je poměr jeho obsahu ku obsahu trojúhelníku sestrojeného z jeho těžnic roven 4:3, viz obrázek. |
PŘEDNÁŠKA 6
Prémiový úkol č. 7: V rovnoramenném trojúhelníku ABC leží na ramenech AC a BC po řadě body K a L tak, že |AK|=|KL|=|LC| a |KC|=|AB|, viz obrázek. Určete velikost úhlu ACB. |
CVIČENÍ 6 (Shodnost. Osová souměrnost.)
Příklad 1: Rozhodněte, zda afinity dané uvedenými rovnicemi jsou shodnosti.
Pokud ano, určete jaké (Využijte při tom samodružné body a směry těchto afinit).
Fermatův bod: Bod, pro který je součet jeho vzdáleností od vrcholů trojúhelníku minimální. Domácí úkol 2: Řešte Příklad 1 c. |
PŘEDNÁŠKA 7
Osová souměrnost (pokračování). Prémiový úkol č. 8: Jakou částí obsahu čtyřúhelníku ABCD je obsah čtyřúhelníku EFGH, viz obrázek, jestliže |AE|=|EF|=|FB| a |DH|=|HG|=|GC|? Své tvrzení dokažte! |
CVIČENÍ 7 (Osová souměrnost)
Osová souměrnost - úlohy k řešení.
Fagnanův problém: Danému ostroúhlému trojúhelníku vepište trojúhelník o nejmenším obvodu. |
PŘEDNÁŠKA 8
Prémiový úkol č. 9: Pro daný trojúhelník ABC určete množinu bodů X, pro které existuje bod D na BC tak, že trojúhelník ADX je rovnostranný, viz obrázek. |
CVIČENÍ 8
Příklad (Mascheroniova konstrukce):
Je dána kružnice k(S;r); dále je dána dvěma body A, B (body neleží na kružnici) její sečna p, která neprochází středem S.
Sestrojte průsečíky přímky p s kružnicí k, aniž přitom použijete pravítka.
(Lorenzo Mascheroni, 1750-1800,
Georg Mohr, 1640-1697,
Mascheroni Construction)
|
PŘEDNÁŠKA 9
Úkol: S využitím uvedených apletů promyslete důkaz tvrzení "Každá shodnost se dá složit z nejvýše tří osových souměrností".
Prémiový úkol č. 10: Pět čtverců je uspořádáno jako na obrázku. Dokažte, že obsah (modrého) čtverce S je roven obsahu (červeného) trojúhelníku T. |
CVIČENÍ 9
Příklad: Dokažte následující větu: V každém trojúhelníku dělí osa libovolného vnitřního úhlu protější stranu v poměru stran přilehlých. |
PŘEDNÁŠKA 10
Skládání shodností. Shodnosti přímé a nepřímé. Grupa shodností. Prémiový úkol č. 11: Čtyři kružnice k, l, m, n jsou uspořádány do uzavřeného řetězu, v němž mají každé dvě sousední kružnice vždy jeden společný bod, viz obrázek. Dokažte, že tyto body dotyku A, B, C, D leží (pro každé takové uspořádání čtyř kružnic) na společné kružnici. |
CVIČENÍ 10 |
PŘEDNÁŠKA 11
Klasifikace shodností v rovině.
|
CVIČENÍ 11
Úlohy na shodnosti v rovině - Vzorové příklady KMA/PLA 2015 |
PŘEDNÁŠKA 12
Podobné zobrazení.
|
PŘEDNÁŠKA 13 |
[1] Sekanina, M. a kol.: Geometrie II, SPN, Praha 1988.
[2] Pomykalová, E., Matematika pro gymnázia - Planimetrie. Prometheus, Praha, 2008.
[3] Kuřina, F.: 10 geometrických transformací. Prometheus, Praha, 2002.
[4] Sekanina, M. a kol.: Geometrie I, SPN, Praha 1988.
[5] Leischner, P. Geometrická zobrazení, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2010.
[6] Pech, P., Klasické vs. počítačové metody při řešení úloh v geometrii, České Budějovice, PF JU, 2005.
[7] Kuřina, F.: 10 pohledů na geometrii. Akademie věd České republiky, 1996.
[8] Audin, M.: Geometry, Springer, 2003.
[9] Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983.
[10] Pech, P., Analytická geometrie lineárních útvarů,
České Budějovice, PF JU, 2004.
[11] Voráčová a kol., Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná. Academia, Praha, 2012.
[12] Vyšín, J. . a kol.: Geometrie pro pedagogické fakulty II, Bratislava, 1970.
[13] Eukleides, Eukleidovy základy (Elementa), překlad F. Servít, 1907.
Dostupné na https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eukleides_Servit.pdf
www.geogebra.org ... program GeoGebra (možnost bezplatného stažení)
i2geo.net ... portál pro sdílení výukových materiálů dynamické geometrie
wiki.geogebra.org ... GeoGebra Wiki - manuál, výukové materiály, fórum apod.
wiki.geogebra.org/cs/ ... postupně překládaná česká verze GeoGebra Wiki
www.youtube.com/user/GeoGebraChannel ... GeoGebra na YouTube
www.geogebratube.org ... Materiály v GeoGebře ke stáhnutí
www.cut-the-knot.org ... Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
http://www.math.uoc.gr ... Geometrikon - galerie geometrických témat
Roman Hašek, katedra matematiky PF JU, kontakt: hasek@pf.jcu.cz